Contexto: Uma população de coelhos cresce de acordo com a função P(t)= 100t^2+1, onde t é o tempo em anos.
Pergunta: Calcule a integral para determinar a população total de coelhos ao longo de 10 anos.
integral0^10 100t^2+1 d t

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos calcular a população total de coelhos ao longo de 10 anos dado P(t)=100/(t²+1). O conteúdo aqui é cálculo de integrais definidas e vamos precisar da primitiva de 1/(t²+1), que envolve a função arctan(t).

Passo 2

Para encontrar a primitiva, lembramos que a derivada de arctan(t) é 1/(t²+1). Logo, uma primitiva de 100/(t²+1) é:
[ F(t) = 100,\arctan(t) ]

Passo 3

Agora aplicamos o teorema fundamental do cálculo avaliando F(t) de t=0 até t=10:
[ \int_{0}^{10} \frac{100}{t^{2}+1},dt = F(10) - F(0) = 100,\arctan(10) - 100,\arctan(0). ]
Como arctan(0)=0, o resultado simplifica para 100,\arctan(10). Se quisermos um valor aproximado, usamos arctan(10)approx1,47113.

Resposta

A integral vale 100,arctan(10), que é aproximadamente 147,11.

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