Contexto: Uma população de coelhos cresce de acordo com a função
, onde
é o tempo em anos.
Pergunta: Calcule a integral para determinar a população total de coelhos ao longo de 10 anos.
Pergunta: Calcule a integral para determinar a população total de coelhos ao longo de 10 anos.
Passo 1
Resumo do enunciado: queremos calcular a população total de coelhos ao longo de 10 anos dado P(t)=100/(t²+1). O conteúdo aqui é cálculo de integrais definidas e vamos precisar da primitiva de 1/(t²+1), que envolve a função arctan(t).
Passo 2
Para encontrar a primitiva, lembramos que a derivada de arctan(t) é 1/(t²+1). Logo, uma primitiva de 100/(t²+1) é:
[ F(t) = 100,\arctan(t) ]
[ F(t) = 100,\arctan(t) ]
Passo 3
Agora aplicamos o teorema fundamental do cálculo avaliando F(t) de t=0 até t=10:
[ \int_{0}^{10} \frac{100}{t^{2}+1},dt = F(10) - F(0) = 100,\arctan(10) - 100,\arctan(0). ]
Como , o resultado simplifica para 100,\arctan(10). Se quisermos um valor aproximado, usamos
.
[ \int_{0}^{10} \frac{100}{t^{2}+1},dt = F(10) - F(0) = 100,\arctan(10) - 100,\arctan(0). ]
Como
Resposta
A integral vale
, que é aproximadamente
.