Contexto: Uma empresa tem a seguinte função de custo marginal C(x)= 2 x+1x^2+3 x+2, onde x representa a quantidade produzida.
Pergunta: Calcule o custo total de produção de 1 a 5 unidades.
integral1^5 2 x+1x^2+3 x+2 d x

Passo 1

Nesse exercício, temos a função de custo marginal C(x)=2x+1x^2+3x+2. O objetivo é calcular o custo total de produção de 1 a 5 unidades, ou seja, avaliar a integral integral1^52x+1x^2+3x+2,dx. O conteúdo envolvido é integração de função racional usando frações parciais.

Passo 2

Primeiro fatoramos o denominador da função racional:
x^2+3x+2=(x+1)(x+2)
e escrevemos
2x+1(x+1)(x+2)=Ax+1+Bx+2

Passo 3

Em seguida, multiplicamos ambos os lados por (x+1)(x+2) para achar A e B:
2x+1=A(x+2)+B(x+1)

Passo 4

Comparando coeficientes, obtemos o sistema:
A+B=2,2A+B=1

Passo 5

Resolvendo, encontramos A=-1 e B=3. Logo
2x+1(x+1)(x+2)=-1x+1+3x+2

Passo 6

A primitiva fica
integrall(-1x+1+3x+2r)dx=-ln|x+1|+3ln|x+2|+C

Passo 7

Agora avaliamos de 1 a 5:
l[-ln(x+1)+3ln(x+2)r]1^5=l(-ln6+3ln7r)-l(-ln2+3ln3r)=3ln7-4ln3

Resposta

3ln(7)-4ln(3)

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