Contexto: O crescimento de uma espécie de planta é modelado pela função G(x)=x+1x^2-x-6, onde x é o tempo em meses.
Pergunta: Calcule o crescimento total de x=3 a x=8.
integral3^8 x+1x^2-x-6 d x

Passo 1

O enunciado pede a integral impropria de x+1x^2 - x - 6 de x=3 a x=8. O conteúdo envolve integrais impróprias e decomposição em frações parciais. Vamos precisar fatorar o denominador, achar a decomposição, encontrar a primitiva e depois estudar o comportamento no ponto singular x=3.

Passo 2

Fatoramos o denominador e montamos a decomposição em frações parciais:
x+1x^2 - x - 6 = x+1(x-3)(x+2) = Ax-3 + Bx+2
Multiplicando em cruz: x+1 = A(x+2) + B(x-3) = (A+B)x + (2A - 3B). Igualando coeficientes, temos
A + B = 1, 2A - 3B = 1
Resolvendo, obtemos A = tfrac45 e B = tfrac15.

Passo 3

Com os valores de A e B, escrevemos a primitiva:
integral x+1x^2 - x - 6,dx = 45 integral 1x-3,dx + 15 integral 1x+2,dx = 45 ln|x-3| + 15 ln|x+2| + C

Passo 4

Como há singularidade em x=3, a integral é imprópria. Escrevemos
integral3^8 x+1x^2 - x - 6,dx = lima to 3^+ integrala^8 x+1x^2 - x - 6,dx
Substituindo a primitiva entre a e 8 e tomando o limite:
&lima to 3^+ l[tfrac45 ln|x-3| + tfrac15 ln|x+2| r]x=a^x=8 &= lima to 3^+ l( tfrac45 ln5 + tfrac15 ln10 - tfrac45 ln(a-3) - tfrac15 ln(a+2) r)

Passo 5

Ao levar a to 3^+, temos ln(a-3) to -infty, e o termo -tfrac45 ln(a-3) tende a +infty. Portanto a integral diverge e não converge para um valor finito.

Resposta

A integral é imprópria e diverge para +∞, não existindo crescimento total finito entre 3 e 8.

Exercícios relacionados