Contexto: O crescimento de uma espécie de planta é modelado pela função
, onde
é o tempo em meses.
Pergunta: Calcule o crescimento total de
a
.
Pergunta: Calcule o crescimento total de
Passo 1
O enunciado pede a integral impropria de
de
a
. O conteúdo envolve integrais impróprias e decomposição em frações parciais. Vamos precisar fatorar o denominador, achar a decomposição, encontrar a primitiva e depois estudar o comportamento no ponto singular
.
Passo 2
Fatoramos o denominador e montamos a decomposição em frações parciais:
Multiplicando em cruz:
. Igualando coeficientes, temos
Resolvendo, obtemos
e
.
Passo 3
Com os valores de
e
, escrevemos a primitiva:
Passo 4
Como há singularidade em
, a integral é imprópria. Escrevemos
Substituindo a primitiva entre
e
e tomando o limite:
Passo 5
Ao levar
, temos
, e o termo
tende a
. Portanto a integral diverge e não converge para um valor finito.
Resposta
A integral é imprópria e diverge para +∞, não existindo crescimento total finito entre 3 e 8.