Exercício 4: Encontre o volume da região limitada pelas curvas y=x^2-2 x+3, y=0, x=0 e x=3 quando girada em torno do eixo x.
V=pi integral0^3(x^2-2 x+3)^2 d x

Passo 1

Nesse exercício a gente quer o volume da região limitada por y = x² - 2x + 3, y = 0, x = 0 e x = 3, girando em torno do eixo x. Como a secção transversa perpendicular ao eixo x é um disco de raio y, usamos o método dos discos:
A fórmula do volume é
V = pi integral0^3 l(x^2 - 2x + 3r)^2 , dx

Passo 2

Primeiro a gente expande o quadrado l(x^2 - 2x + 3r)^2. Fazendo a multiplicação, dá:
(x^2 - 2x + 3)^2 = x^4 - 4x^3 + 10x^2 - 12x + 9

Passo 3

Agora calculamos a antiderivada termo a termo. Ou seja,
integral (x^4 - 4x^3 + 10x^2 - 12x + 9) , dx = x^55 - x^4 + 10x^33 - 6x^2 + 9x + C
Portanto, incluindo o fator pi, a primitiva é
F(x) = pil(x^55 - x^4 + 10x^33 - 6x^2 + 9xr)

Passo 4

Basta agora avaliar de 0 a 3:
F(3) - F(0) = pil(3^55 - 3^4 + 10cdot3^33 - 6cdot3^2 + 9cdot3r)
Calculando cada termo:
  • 3^5/5 = 243/5
  • -3^4 = -81
  • 10cdot3^3/3 = 10cdot9 = 90
  • -6cdot3^2 = -54
  • 9cdot3 = 27
Somando: 243/5 - 81 + 90 - 54 + 27 = 243/5 - 18 = 153/5. Logo

Passo 5

o volume é

Passo 6

Resposta

153pi5

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