Contexto: Um filtro eletrônico tem uma resposta dada pela função R(t)= 4t^2+4.
Pergunta: Determine a energia total filtrada de t=0 a t=10.
integral0^10 4t^2+4 d t

Passo 1

O enunciado pede a energia total filtrada de t=0 até t=10, dada pela integral
integral0^104t^2+4,dt
O conteúdo aqui é integrar uma função racional do tipo 1/(t²+a²), que leva à função arco-tangente. Vamos usar a fórmula básica de integração.

Passo 2

Primeiro, extraímos a constante 4 da integral:
integral4t^2+4,dt = 4integral1t^2+2^2,dt
Sabemos que
integral1t^2+a^2,dt = 1aarctanl(tar)+C
com a=2.

Passo 3

Aplicando a fórmula com a=2:
integral1t^2+2^2,dt = 12arctanl(t2r)+C
Portanto,
integral4t^2+4,dt = 4cdot12arctanl(t2r) = 2arctanl(t2r)+C

Passo 4

Agora avaliamos a primitiva de 0 a 10:
2l[arctanl(tfrac102r) - arctan(0)r] = 2arctan(5)

Resposta

2arctan(5)

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