Contexto: O fluxo de um fluido em um tubo é descrito pela função F(x)= 3(x-1)(x+3), onde x representa a pressão no tubo.
Pergunta: Calcule o fluxo total de x=2 a x=4.
integral2^4 3(x-1)(x+3) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular o fluxo total de um fluido descrito por F(x)=\frac{3}{(x-1)(x+3)} entre x=2 e x=4. O conteúdo essencial aqui é integração por frações parciais.

Passo 2

Primeiro, fazemos a decomposição em frações parciais de 3(x-1)(x+3). Assumimos que
3(x-1)(x+3)=Ax-1+Bx+3

Passo 3

Para encontrar A e B, igualamos numeradores:
3=A(x+3)+B(x-1)

Passo 4

Substituindo x=1 3=4A logo A=tfrac34. Substituindo x=-3 3=-4B logo B=-tfrac34.

Passo 5

Agora a integral fica
integral2^43(x-1)(x+3),dx=integral2^4l(3/4x-1-3/4x+3r)dx

Passo 6

Integramos termo a termo:
=34integral2^41x-1dx-34integral2^41x+3dx =34l[ln|x-1|-ln|x+3|r]2^4

Passo 7

Aplicando os limites: para x=4 temos ln3-ln7=ln(3/7), e para x=2 temos ln1-ln5=-ln5. A diferença é
lntfrac37-(-ln5)=lntfrac157

Passo 8

Finalmente multiplicamos por 3/4 para obter o valor da integral.
34 lntfrac157

Resposta

34ln!l(tfrac157r)

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