Contexto: Medições de temperatura (
{ }^{\circ}
C
) em fornos de uma metalúrgica:
\begin{tabular}{ll}
Temperatura (
\left({ }^{\circ}
C\right)
& (
\mathrm{N}^{\circ}
Fornos \\
& 4 \
& 11 \
& 9 \
& 6 \
Total & 30
\end{tabular}
Calcule:
Mediana)
Temperatura (
Total & 30
\end{tabular}
Mediana)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a mediana das temperaturas medidas em fornos. Dados fornecidos (cada intervalo está em
):
Informações relevantes listadas:
(total de observações), as classes e suas frequências
.
Passo 2
Vamos montar as frequências acumuladas (importante para localizar a classe da mediana). Cumulando as frequências em ordem:
Logo as frequências acumuladas são
.
Passo 3
Explico o que é mediana para dados agrupados e a fórmula que vamos usar. A mediana é o valor que divide a amostra em duas metades (50% abaixo e 50% acima). Para dados agrupados em classes contínuas, assumimos que os dados estão uniformemente distribuídos dentro da classe da mediana e usamos interpolação linear. A fórmula comum é:
onde:
-
é a mediana estimada; -
é o total de observações; -
é o limite inferior (início) da classe mediana; -
é a frequência acumulada antes da classe mediana (ou seja, soma das frequências das classes anteriores); -
é a frequência da classe mediana; -
é a amplitude (largura) da classe.
Intuição da fórmula:
é quantos elementos dentro da classe mediana precisamos para alcançar a metade da amostra; dividindo por
temos a fração dessa classe; multiplicando por
obtemos a distância dentro da classe; somando a
obtemos a posição em temperatura.
Passo 4
Calculemos
:
Agora identificamos a classe mediana: é a primeira classe cuja frequência acumulada é maior ou igual a
. Observando as acumuladas
, a primeira que atinge
é a segunda classe
(a acumulada fica exatamente
). Assim:
A amplitude da classe (assumindo classes contíguas de igual largura) é
Passo 5
Agora aplicamos a fórmula passo a passo. Primeiro o numerador da fração:
Dividindo pela frequência da classe mediana:
Multiplicando pela amplitude:
Somando ao limite inferior da classe:
Interpretação rápida: a fração dentro da classe foi exatamente
, ou seja, a metade da amostra cai exatamente no final da classe
, resultando na mediana igual a
.