Contexto: Medições de temperatura (
{ }^{\circ}
C
) em fornos de uma metalúrgica:
\begin{tabular}{ll}
Temperatura (
\left({ }^{\circ}
C\right)
& (
\mathrm{N}^{\circ}
Fornos \\ 200 \vdash 300 & 4 \
300 \vdash 400 & 11 \
400 \vdash 500 & 9 \
500 \vdash 600 & 6 \
Total & 30
\end{tabular}
Calcule:
Mediana)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a mediana das temperaturas medidas em fornos. Dados fornecidos (cada intervalo está em ^\circ\mathrm{C}):
\begin{array}{ll} \text{Intervalo} & \text{Frequência} \\\\ 200\vdash300 & 4 \\\\ 300\vdash400 & 11 \\\\ 400\vdash500 & 9 \\\\ 500\vdash600 & 6 \\\ \text{Total} & 30 \end{array}ê
Informações relevantes listadas:
\;n=30 (total de observações), as classes e suas frequências \;4,\;11,\;9,\;6.

Passo 2

Vamos montar as frequências acumuladas (importante para localizar a classe da mediana). Cumulando as frequências em ordem:
\begin{aligned} \text{Após }200\vdash300 &: 4 \\\ \text{Após }300\vdash400 &: 4+11=15 \\\ \text{Após }400\vdash500 &: 15+9=24 \\\ \text{Após }500\vdash600 &: 24+6=30 \end{aligned}óóóó
Logo as frequências acumuladas são \;4,\;15,\;24,\;30.

Passo 3

Explico o que é mediana para dados agrupados e a fórmula que vamos usar. A mediana é o valor que divide a amostra em duas metades (50% abaixo e 50% acima). Para dados agrupados em classes contínuas, assumimos que os dados estão uniformemente distribuídos dentro da classe da mediana e usamos interpolação linear. A fórmula comum é:
M_e = L_m + \frac{\frac{n}{2} - F_b}{f_m}\cdot c
onde:
  • M_e é a mediana estimada;
  • n é o total de observações;
  • L_m é o limite inferior (início) da classe mediana;
  • F_b é a frequência acumulada antes da classe mediana (ou seja, soma das frequências das classes anteriores);
  • f_m é a frequência da classe mediana;
  • c é a amplitude (largura) da classe.
Intuição da fórmula: \frac{n}{2}-F_b é quantos elementos dentro da classe mediana precisamos para alcançar a metade da amostra; dividindo por f_m temos a fração dessa classe; multiplicando por c obtemos a distância dentro da classe; somando a L_m obtemos a posição em temperatura.

Passo 4

Calculemos \frac{n}{2}:
\frac{n}{2}=\frac{30}{2}=15.
Agora identificamos a classe mediana: é a primeira classe cuja frequência acumulada é maior ou igual a \frac{n}{2}. Observando as acumuladas \;4,\;15,\;24,\;30, a primeira que atinge \ge 15 é a segunda classe \;300\vdash400 (a acumulada fica exatamente 15). Assim:
L_m = 300,\qquad F_b = 4,\qquad f_m = 11.
A amplitude da classe (assumindo classes contíguas de igual largura) é
c = 300-200 = 100.

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula passo a passo. Primeiro o numerador da fração:
\frac{n}{2} - F_b = 15 - 4 = 11.
Dividindo pela frequência da classe mediana:
\frac{15-4}{f_m}=\frac{11}{11}=1.
Multiplicando pela amplitude:
1\cdot c = 1\cdot 100 = 100.
Somando ao limite inferior da classe:
M_e = L_m + 100 = 300 + 100 = 400.
Interpretação rápida: a fração dentro da classe foi exatamente 1, ou seja, a metade da amostra cai exatamente no final da classe 300\vdash400, resultando na mediana igual a 400^\circ\mathrm{C}.

Resposta

400^\circ\mathrm{C}

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