Contexto do problema: Uma empresa de construção está produzindo três tipos de concreto estrutural para diferentes partes de uma obra: fundação, pilares e lajes. Cada tipo de concreto utiliza quantidades diferentes de cimento, areia e brita.
A composição (em unidades de medida padronizadas) é:
Tipo de concreto Cimento Areia Brita
Fundação 2 3 4
Pilar 3 2 5
Laje 1 2 3
Em determinado dia de obra foram utilizados:
  • 20 unidades de cimento
  • 19 unidades de areia
  • 33 unidades de brita
Deseja-se saber quantos lotes de cada tipo de concreto foram produzidos.
Cada grupo deverá:
3 Representação matricial
  • Escrever o sistema na forma: \mathrm{AX}=\mathrm{B}
    identificando:
  • matriz dos coeficientes
  • vetor incógnita
  • vetor dos termos independentes.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
  • Composições por lote (peguei estes números do enunciado):
    • Fundação: cimento 2, areia 3, brita 4.
    • Pilar: cimento 3, areia 2, brita 5.
    • Laje: cimento 1, areia 2, brita 3.
  • Totais utilizados no dia (peguei estes números do enunciado):
    • Cimento: 20 unidades.
    • Areia: 19 unidades.
    • Brita: 33 unidades.
O enunciado pede: determinar quantos lotes de cada tipo de concreto foram produzidos (quantos lotes de Fundação, de Pilar e de Laje).

Passo 2

Definindo variáveis (isso é importante para montar o sistema):
  • Seja x o número de lotes de Fundação.
  • Seja y o número de lotes de Pilar.
  • Seja z o número de lotes de Laje.
Agora escrevemos uma equação para cada material (cada equação soma a contribuição de cada tipo ao total do material):
  • Cimento: 2x + 3y + 1z = 20.
  • Areia: 3x + 2y + 2z = 19.
  • Brita: 4x + 5y + 3z = 33.
Observação: cada coeficiente vem diretamente da tabela de composição (peguei esses coeficientes da tabela fornecida).

Passo 3

Representação matricial na forma \mathrm{AX}=\mathrm{B} (a resposta pedida no item “Representação matricial”):
  • Matriz dos coeficientes \mathrm{A}:
\mathrm{A}= \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1\\[4pt] 3 & 2 & 2\\[4pt] 4 & 5 & 3 \end{pmatrix}
  • Vetor incógnita \mathrm{X}:
\mathrm{X}= \begin{pmatrix} x\\[4pt] y\\[4pt] z \end{pmatrix}
  • Vetor dos termos independentes \mathrm{B}:
\mathrm{B}= \begin{pmatrix} 20\\[4pt] 19\\[4pt] 33 \end{pmatrix}
Portanto o sistema matricial é
\mathrm{A}\,\mathrm{X}=\mathrm{B}.]

Passo 4

Escolha do método e ideia principal (mini-aula): vou usar eliminação de Gauss (método elementar e prático sem cálculo de inversa). A ideia é transformar a matriz aumentada em uma forma triangular superior através de operações elementares por linha, depois fazer substituição retroativa para obter x,y,z.
Operações por linha permitidas:
  • somar múltiplos de uma linha a outra,
  • multiplicar uma linha por não-zero,
  • trocar linhas (neste caso não será necessário trocar).

Passo 5

Matriz aumentada inicial (vou trabalhar com ela):
\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 3 & 1 & 20\\[4pt] 3 & 2 & 2 & 19\\[4pt] 4 & 5 & 3 & 33 \end{array}\right]
Primeiro objetivo: zerar as entradas abaixo do pivô da primeira coluna (usar a primeira linha como pivô).
  • Fazer R_2 \leftarrow R_2 - \dfrac{3}{2}R_1:
    Cálculo linha 2:
    R_2 = (3,\,2,\,2\mid 19) - \tfrac{3}{2}(2,\,3,\,1\mid 20) = (0,\,-\tfrac{5}{2},\,\tfrac{1}{2}\mid -11).
  • Fazer R_3 \leftarrow R_3 - 2R_1:
    Cálculo linha 3:
    R_3 = (4,\,5,\,3\mid 33) - 2(2,\,3,\,1\mid 20) = (0,\,-1,\,1\mid -7).
A matriz aumentada passa a ser
\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 3 & 1 & 20\\[4pt] 0 & -\tfrac{5}{2} & \tfrac{1}{2} & -11\\[4pt] 0 & -1 & 1 & -7 \end{array}\right].]

Passo 6

Para evitar frações, multiplico a segunda linha por 2:
R_2 \leftarrow 2R_2 = (0,\,-5,\,1\mid -22).
Mantendo R_3=(0,-1,1\mid -7).
Agora elimino a entrada abaixo do pivô da segunda coluna (usar R_2 como pivô):
  • Fazer R_3 \leftarrow 5R_3 - R_2. (Multiplico R_3 por 5 para igualar -1 com -5 e subtraio)
    Cálculo: 5R_3 = (0,-5,5\mid -35),\qquad 5R_3 - R_2 = (0,0,4\mid -13).
Agora a matriz aumentada triangularizada é
\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 3 & 1 & 20\\[4pt] 0 & -5 & 1 & -22\\[4pt] 0 & 0 & 4 & -13 \end{array}\right].]

Passo 7

Substituição retroativa (mini-aula): com a matriz triangular superior, resolvemos primeiro a última equação para z, depois substituímos para obter y e finalmente x.
Última linha dá:
4z = -13 \quad\Rightarrow\quad z = -\dfrac{13}{4}.
Segunda linha (antes de termos multiplicado por 2, mas os coeficientes atuais já valem):
-5y + 1\cdot z = -22.
Substituindo z:
-5y + \left(-\dfrac{13}{4}\right) = -22.
Isolando y:
-5y = -22 + \dfrac{13}{4} = -\dfrac{88}{4} + \dfrac{13}{4} = -\dfrac{75}{4},
y = \dfrac{75}{4\cdot 5} = \dfrac{75}{20} = \dfrac{15}{4}.
Primeira equação:
2x + 3y + z = 20.
Substituindo y=\dfrac{15}{4} e z=-\dfrac{13}{4}:
2x + 3\cdot \dfrac{15}{4} + \left(-\dfrac{13}{4}\right) = 20.
Calcule os termos:
3\cdot \dfrac{15}{4} = \dfrac{45}{4},\qquad \dfrac{45}{4} - \dfrac{13}{4} = \dfrac{32}{4} = 8.
Logo
2x + 8 = 20 \quad\Rightarrow\quad 2x = 12 \quad\Rightarrow\quad x = 6.

Passo 8

Interpretação e comentário final (mini-aula/encorajamento):
  • As soluções encontradas são x = 6,\qquad y = \dfrac{15}{4}=3{,}75,\qquad z = -\dfrac{13}{4}=-3{,}25.
  • Matematicamente o sistema tem solução única (determinante de \mathrm{A} é -4\neq 0), então os valores acima são os corretos do sistema linear.
  • Observação prática: z é negativo, o que significa que os dados fornecidos (as composições e os totais) são incompatíveis com a interpretação física “número de lotes” não-negativo — isso indica que, se fosse exigido que todos os números de lotes fossem inteiros e não-negativos, os dados do problema estariam inconsistentes. Mas do ponto de vista puramente algébrico, a solução do sistema é a que acabamos de calcular. Força aí — problemas do mundo real às vezes têm dados inconsistentes; o importante é saber interpretar o que a solução diz.

Resposta

x=6
y=\dfrac{15}{4}
z=-\dfrac{13}{4}

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