Contexto do problema: Uma empresa de construção está produzindo três tipos de concreto estrutural para diferentes partes de uma obra: fundação, pilares e lajes. Cada tipo de concreto utiliza quantidades diferentes de cimento, areia e brita.
A composição (em unidades de medida padronizadas) é:
Tipo de concreto
Cimento
Areia
Brita
Fundação
2
3
4
Pilar
3
2
5
Laje
1
2
3
Em determinado dia de obra foram utilizados:
20 unidades de cimento
19 unidades de areia
33 unidades de brita
Deseja-se saber quantos lotes de cada tipo de concreto foram produzidos.
Cada grupo deverá:
3 Representação matricial
Escrever o sistema na forma: \mathrm{AX}=\mathrm{B}
identificando:
matriz dos coeficientes
vetor incógnita
vetor dos termos independentes.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
Composições por lote (peguei estes números do enunciado):
Fundação: cimento 2, areia 3, brita 4.
Pilar: cimento 3, areia 2, brita 5.
Laje: cimento 1, areia 2, brita 3.
Totais utilizados no dia (peguei estes números do enunciado):
Cimento: 20 unidades.
Areia: 19 unidades.
Brita: 33 unidades.
O enunciado pede: determinar quantos lotes de cada tipo de concreto foram produzidos (quantos lotes de Fundação, de Pilar e de Laje).
Passo 2
Definindo variáveis (isso é importante para montar o sistema):
Seja x o número de lotes de Fundação.
Seja y o número de lotes de Pilar.
Seja z o número de lotes de Laje.
Agora escrevemos uma equação para cada material (cada equação soma a contribuição de cada tipo ao total do material):
Cimento: 2x + 3y + 1z = 20.
Areia: 3x + 2y + 2z = 19.
Brita: 4x + 5y + 3z = 33.
Observação: cada coeficiente vem diretamente da tabela de composição (peguei esses coeficientes da tabela fornecida).
Passo 3
Representação matricial na forma \mathrm{AX}=\mathrm{B} (a resposta pedida no item “Representação matricial”):
Escolha do método e ideia principal (mini-aula): vou usar eliminação de Gauss (método elementar e prático sem cálculo de inversa). A ideia é transformar a matriz aumentada em uma forma triangular superior através de operações elementares por linha, depois fazer substituição retroativa para obter x,y,z.
Operações por linha permitidas:
somar múltiplos de uma linha a outra,
multiplicar uma linha por não-zero,
trocar linhas (neste caso não será necessário trocar).
Substituição retroativa (mini-aula): com a matriz triangular superior, resolvemos primeiro a última equação para z, depois substituímos para obter y e finalmente x.
Última linha dá:
4z = -13 \quad\Rightarrow\quad z = -\dfrac{13}{4}.
Segunda linha (antes de termos multiplicado por 2, mas os coeficientes atuais já valem):
Interpretação e comentário final (mini-aula/encorajamento):
As soluções encontradas sãox = 6,\qquad y = \dfrac{15}{4}=3{,}75,\qquad z = -\dfrac{13}{4}=-3{,}25.
Matematicamente o sistema tem solução única (determinante de \mathrm{A} é -4\neq 0), então os valores acima são os corretos do sistema linear.
Observação prática: z é negativo, o que significa que os dados fornecidos (as composições e os totais) são incompatíveis com a interpretação física “número de lotes” não-negativo — isso indica que, se fosse exigido que todos os números de lotes fossem inteiros e não-negativos, os dados do problema estariam inconsistentes. Mas do ponto de vista puramente algébrico, a solução do sistema é a que acabamos de calcular. Força aí — problemas do mundo real às vezes têm dados inconsistentes; o importante é saber interpretar o que a solução diz.