Contexto do problema: Uma empresa de construção está produzindo três tipos de concreto estrutural para diferentes partes de uma obra: fundação, pilares e lajes. Cada tipo de concreto utiliza quantidades diferentes de cimento, areia e brita.
A composição (em unidades de medida padronizadas) é:
Tipo de concreto
Cimento
Areia
Brita
Fundação
2
3
4
Pilar
3
2
5
Laje
1
2
3
Em determinado dia de obra foram utilizados:
20 unidades de cimento
19 unidades de areia
33 unidades de brita
Deseja-se saber quantos lotes de cada tipo de concreto foram produzidos.
Cada grupo deverá:
1 Definir as variáveis:
x= número de lotes de concreto para fundação
y= número de lotes de concreto para pilares
z= número de lotes de concreto para lajes
Passo 1
Vou deixar bem claro o que o enunciado pede e quais são os dados (já definiu as variáveis; repito para ficar organizado).
Variáveis:
x= número de lotes de concreto para fundação
y= número de lotes de concreto para pilares
z= número de lotes de concreto para lajes
Composições por lote (peguei estes números da tabela do enunciado):
Fundação: 2 unidades de cimento, 3 unidades de areia, 4 unidades de brita
Pilar: 3 unidades de cimento, 2 unidades de areia, 5 unidades de brita
Laje: 1 unidade de cimento, 2 unidades de areia, 3 unidades de brita
Totais usados no dia (dados do enunciado):
Cimento: 20 unidades
Areia: 19 unidades
Brita: 33 unidades
O que a questão pede: determinar os valores de x, y e z, ou seja, quantos lotes de cada tipo foram produzidos, de modo que as quantidades de cimento, areia e brita usadas coincidiram com os totais dados.
Passo 2
Montar o sistema linear que representa o problema: cada material gera uma equação em função de x,y,z.
Para o cimento (somando contribuições de cada tipo):
2x+3y+1z=20
Para a areia:
3x+2y+2z=19
Para a brita:
4x+5y+3z=33
Esse é um sistema de três equações lineares com três incógnitas:
Breve explicação do método que vou usar (eliminação): a ideia da eliminação é combinar as equações por soma ou subtração (possivelmente multiplicadas por constantes inteiras) para anular uma incógnita, reduzindo o sistema a duas equações com duas incógnitas; depois anula-se outra incógnita e resolve-se. Esse método é prático quando os coeficientes são inteiros e pequenos, como aqui. Vou eliminar primeiro z porque os coeficientes de z são 1,2,3, fáceis de igualar por multiplicação.
Passo 4
Eliminar z combinando as equações de forma inteira.
Multiplico a primeira equação por 2 para igualar o coeficiente de z com a segunda:
(2)\times(2x+3y+z=20)\Longrightarrow 4x+6y+2z=40.
Agora subtraio a segunda equação 3x+2y+2z=19 para eliminar z:
(4x+6y+2z)-(3x+2y+2z)=40-19
o que dá:
x+4y=21.
Denoto essa nova equação por (4):
\text{(4)}\quad x+4y=21.
Agora elimino z usando a primeira e a terceira equações. Multiplico a primeira por 3 para igualar o coeficiente de z com a terceira:
(3)\times(2x+3y+z=20)\Longrightarrow 6x+9y+3z=60.
Subtraio a terceira equação 4x+5y+3z=33:
(6x+9y+3z)-(4x+5y+3z)=60-33
o que dá:
2x+4y=27.
Denoto essa por (5):
\text{(5)}\quad 2x+4y=27.
Agora reduzi o sistema para duas equações lineares em x e y:
Somando: 18+7{,}5-6{,}5=19, que confere com o total de areia. A terceira equação também confere (verificação deixada implícita, mas o sistema foi consistente na eliminação).
Observação prática: a solução tem z negativo e y não inteiro. Na interpretação física do problema (número de lotes), esperamos números não negativos e, normalmente, inteiros. Aqui o sistema linear (cuja matriz tem determinante -4, portanto solução única) levou a z<0, o que significa que os totais fornecidos (20,19,33) não podem ser obtidos por uma combinação não-negativa inteira de lotes segundo as composições dadas. Em outras palavras, os dados são incompatíveis com a exigência física de “número de lotes” não negativo e inteiro. Mas algebricamente a solução do sistema é a que achei acima.