Contexto do problema: Uma empresa de construção está produzindo três tipos de concreto estrutural para diferentes partes de uma obra: fundação, pilares e lajes. Cada tipo de concreto utiliza quantidades diferentes de cimento, areia e brita.
A composição (em unidades de medida padronizadas) é:
Tipo de concreto Cimento Areia Brita
Fundação 2 3 4
Pilar 3 2 5
Laje 1 2 3
Em determinado dia de obra foram utilizados:
  • 20 unidades de cimento
  • 19 unidades de areia
  • 33 unidades de brita
Deseja-se saber quantos lotes de cada tipo de concreto foram produzidos.
Cada grupo deverá:
1 Definir as variáveis:
  • x= número de lotes de concreto para fundação
  • y= número de lotes de concreto para pilares
  • z= número de lotes de concreto para lajes

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado pede e quais são os dados (já definiu as variáveis; repito para ficar organizado).
  • Variáveis:
    • x= número de lotes de concreto para fundação
    • y= número de lotes de concreto para pilares
    • z= número de lotes de concreto para lajes
  • Composições por lote (peguei estes números da tabela do enunciado):
    • Fundação: 2 unidades de cimento, 3 unidades de areia, 4 unidades de brita
    • Pilar: 3 unidades de cimento, 2 unidades de areia, 5 unidades de brita
    • Laje: 1 unidade de cimento, 2 unidades de areia, 3 unidades de brita
  • Totais usados no dia (dados do enunciado):
    • Cimento: 20 unidades
    • Areia: 19 unidades
    • Brita: 33 unidades
  • O que a questão pede: determinar os valores de x, y e z, ou seja, quantos lotes de cada tipo foram produzidos, de modo que as quantidades de cimento, areia e brita usadas coincidiram com os totais dados.

Passo 2

Montar o sistema linear que representa o problema: cada material gera uma equação em função de x,y,z.
  • Para o cimento (somando contribuições de cada tipo):
2x+3y+1z=20
  • Para a areia:
3x+2y+2z=19
  • Para a brita:
4x+5y+3z=33
Esse é um sistema de três equações lineares com três incógnitas:
\begin{cases} 2x+3y+z=20,\\[4pt] 3x+2y+2z=19,\\[4pt] 4x+5y+3z=33. \end{cases}]

Passo 3

Breve explicação do método que vou usar (eliminação): a ideia da eliminação é combinar as equações por soma ou subtração (possivelmente multiplicadas por constantes inteiras) para anular uma incógnita, reduzindo o sistema a duas equações com duas incógnitas; depois anula-se outra incógnita e resolve-se. Esse método é prático quando os coeficientes são inteiros e pequenos, como aqui. Vou eliminar primeiro z porque os coeficientes de z são 1,2,3, fáceis de igualar por multiplicação.

Passo 4

Eliminar z combinando as equações de forma inteira.
  • Multiplico a primeira equação por 2 para igualar o coeficiente de z com a segunda:
(2)\times(2x+3y+z=20)\Longrightarrow 4x+6y+2z=40.
Agora subtraio a segunda equação 3x+2y+2z=19 para eliminar z:
(4x+6y+2z)-(3x+2y+2z)=40-19
o que dá:
x+4y=21.
Denoto essa nova equação por (4):
\text{(4)}\quad x+4y=21.
  • Agora elimino z usando a primeira e a terceira equações. Multiplico a primeira por 3 para igualar o coeficiente de z com a terceira:
(3)\times(2x+3y+z=20)\Longrightarrow 6x+9y+3z=60.
Subtraio a terceira equação 4x+5y+3z=33:
(6x+9y+3z)-(4x+5y+3z)=60-33
o que dá:
2x+4y=27.
Denoto essa por (5):
\text{(5)}\quad 2x+4y=27.
Agora reduzi o sistema para duas equações lineares em x e y:
\begin{cases} x+4y=21,\\[4pt] 2x+4y=27. \end{cases}]

Passo 5

Resolver o sistema em x e y. Subtraio a primeira equação da segunda para anular y:
(2x+4y)-(x+4y)=27-21
o que dá:
x=6.
Substituo x=6 em \;x+4y=21\; para achar y:
6+4y=21
4y=15
y=\dfrac{15}{4}=3{,}75.

Passo 6

Com x e y encontrados, encontro z substituindo numa das equações originais (uso a primeira por ser simples):
2x+3y+z=20.
Substituindo x=6 e y=\dfrac{15}{4}:
2\cdot 6 + 3\cdot \dfrac{15}{4} + z = 20.
Calculo cada termo:
2\cdot 6 = 12,\qquad 3\cdot \dfrac{15}{4}=\dfrac{45}{4}=11{,}25.
Então
12 + 11{,}25 + z = 20
23{,}25 + z = 20
z = 20 - 23{,}25 = -3{,}25.
Portanto a solução do sistema linear é
x=6,\qquad y=\dfrac{15}{4}=3{,}75,\qquad z=-3{,}25.

Passo 7

Interpretação e verificação rápida:
  • Verifico rapidamente que esses valores satisfazem as outras equações (para checar erro de conta). Por exemplo, segunda equação:
3x+2y+2z = 3\cdot 6 + 2\cdot \dfrac{15}{4} + 2\cdot(-3{,}25).
Calcule:
3\cdot 6 = 18,\quad 2\cdot \dfrac{15}{4}=\dfrac{30}{4}=7{,}5,\quad 2\cdot(-3{,}25)=-6{,}5.
Somando: 18+7{,}5-6{,}5=19, que confere com o total de areia. A terceira equação também confere (verificação deixada implícita, mas o sistema foi consistente na eliminação).
  • Observação prática: a solução tem z negativo e y não inteiro. Na interpretação física do problema (número de lotes), esperamos números não negativos e, normalmente, inteiros. Aqui o sistema linear (cuja matriz tem determinante -4, portanto solução única) levou a z<0, o que significa que os totais fornecidos (20,19,33) não podem ser obtidos por uma combinação não-negativa inteira de lotes segundo as composições dadas. Em outras palavras, os dados são incompatíveis com a exigência física de “número de lotes” não negativo e inteiro. Mas algebricamente a solução do sistema é a que achei acima.

Resposta

x=6
y=\dfrac{15}{4}=3{,}75
z=-\dfrac{13}{4}=-3{,}25

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