Questão 3

Considere a equação diferencial:
\left(y^{2}+x^{2}\right) d x-2 x y d y=0, \quad y(1)=2
a) Identifique M(x, y) e N(x, y). Calcule \frac{\partial M}{\partial y} e \frac{\partial N}{\partial x} e mostre que a equação nāo é exata.
b) Verifique que \frac{1}{N}\left(\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}\right) depende apenas de x e calcule o fator integrante \mu(x).
c) Multiplique a equação por \mu(x) e resolva a equação exata resultante, encontrando a função potencial F(x, y).
d) Aplique a condição inicial e escreva a solução implícita F(x, y)=C.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\left(y^{2}+x^{2}\right) d x-2 x y d y=0,
com condição inicial y(1)=2. As perguntas são:
  • (a) Identificar M(x,y) e N(x,y); calcular \dfrac{\partial M}{\partial y} e \dfrac{\partial N}{\partial x} e mostrar que a equação não é exata.
  • (b) Verificar que \dfrac{1}{N}\!\left(\dfrac{\partial M}{\partial y}-\dfrac{\partial N}{\partial x}\right) depende apenas de x e calcular o fator integrante \mu(x).
  • (c) Multiplicar por \mu(x) e resolver a equação exata resultante, encontrando a função potencial F(x,y).
  • (d) Aplicar a condição inicial e escrever a solução implícita F(x,y)=C.
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação está dada no formato M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 com M(x,y)= termo multiplicando dx e N(x,y)= termo multiplicando dy.
  • A condição inicial é \,y(1)=2, o que permite escolher o sinal de \mu quando aparecer valor absoluto.

Passo 2

Identificamos M e N a partir da equação:
M(x,y)=y^{2}+x^{2},\qquad N(x,y)=-2xy.
Agora calculamos as derivadas parciais pedidas.
Cálculo de \dfrac{\partial M}{\partial y}:
\dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial y}\!(y^{2}+x^{2})=2y.
Cálculo de \dfrac{\partial N}{\partial x}:
\dfrac{\partial N}{\partial x}=\dfrac{\partial}{\partial x}\!(-2xy)=-2y.
Comparando as derivadas:
\dfrac{\partial M}{\partial y}=2y,\qquad \dfrac{\partial N}{\partial x}=-2y,
logo
\dfrac{\partial M}{\partial y}\neq \dfrac{\partial N}{\partial x},
portanto a equação não é exata.

Passo 3

Calculamos a quantidade solicitada:
\frac{1}{N}\!\left(\dfrac{\partial M}{\partial y}-\dfrac{\partial N}{\partial x}\right) =\frac{1}{-2xy}\big(2y-(-2y)\big) =\frac{1}{-2xy}\cdot 4y.
Simplificando (observe que y cancela, assumindo y\neq0):
\frac{1}{N}\!\left(\dfrac{\partial M}{\partial y}-\dfrac{\partial N}{\partial x}\right) =\frac{4y}{-2xy}=-\frac{2}{x}.
Este resultado depende apenas de x, como pedido.
Quando essa expressão depende só de x, existe um fator integrante \mu(x) que satisfaz
\frac{\mu'(x)}{\mu(x)}=-\frac{2}{x}.
Integramos ambos os lados em relação a x:
\ln|\mu(x)|=\int -\frac{2}{x}\,dx=-2\ln|x|+C_0.
Exponenciando, obtemos
\mu(x)=C\,|x|^{-2}.
Podemos escolher a constante multiplicativa C igual a 1 (fatores constantes só multiplicam a solução), e como a condição inicial tem x=1>0 podemos tomar a forma simples
\mu(x)=x^{-2}.

Passo 4

Multiplicamos a equação original por \mu(x)=x^{-2}. A equação original é M\,dx+N\,dy=0, então a nova tem \tilde M=\mu M e \tilde N=\mu N:
\tilde M(x,y)=x^{-2}(x^{2}+y^{2})=1+\frac{y^{2}}{x^{2}},
\tilde N(x,y)=x^{-2}(-2xy)=-\frac{2y}{x}.
Verificamos rapidamente que agora é exata (opcional, pois o fator foi construído para isso):
\dfrac{\partial \tilde M}{\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial y}\!\left(1+\frac{y^{2}}{x^{2}}\right)=\frac{2y}{x^{2}},
\dfrac{\partial \tilde N}{\partial x}=\dfrac{\partial}{\partial x}\!\left(-\frac{2y}{x}\right)=-2y\cdot\left(-\frac{1}{x^{2}}\right)=\frac{2y}{x^{2}},
logo \dfrac{\partial \tilde M}{\partial y}=\dfrac{\partial \tilde N}{\partial x} e a equação multiplicada é exata.

Passo 5

Como a equação é exata, existe uma função potencial F(x,y) tal que
\dfrac{\partial F}{\partial x}=\tilde M(x,y)=1+\frac{y^{2}}{x^{2}}, \qquad \dfrac{\partial F}{\partial y}=\tilde N(x,y)=-\frac{2y}{x}.
Para encontrar F, integramos \dfrac{\partial F}{\partial x} em relação a x, tratando y como constante:
F(x,y)=\int\left(1+\frac{y^{2}}{x^{2}}\right)dx = \int 1\,dx + y^{2}\int x^{-2}dx = x + y^{2}\left(-\frac{1}{x}\right) + h(y),
onde h(y) é uma função arbitrária de y (constante de integração em relação a x).
Portanto
F(x,y)=x-\frac{y^{2}}{x}+h(y).
Agora impondo \dfrac{\partial F}{\partial y}=\tilde N:
\dfrac{\partial F}{\partial y}=-\frac{2y}{x}+h'(y) \stackrel{!}{=}-\frac{2y}{x}.
Isto implica h'(y)=0, logo h(y) é constante. Podemos absorver essa constante na constante geral da solução.
Assim a função potencial (até constante) é
F(x,y)=x-\frac{y^{2}}{x}.

Passo 6

A solução implícita geral é
F(x,y)=C\quad\Longrightarrow\quad x-\frac{y^{2}}{x}=C.
Agora aplicamos a condição inicial y(1)=2 para determinar C:
F(1,2)=1-\frac{2^{2}}{1}=1-4=-3.
Portanto C=-3, e a solução implícita particular que satisfaz a condição inicial é
x-\frac{y^{2}}{x}=-3.
Opcionalmente pode-se multiplicar por x (para eliminar denominador) e escrever
x^{2}+3x-y^{2}=0,
mas a forma x-\dfrac{y^{2}}{x}=-3 já é uma solução implícita válida.

Resposta

x-\dfrac{y^{2}}{x}=-3

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