Questão 3
Considere a equação diferencial:
a) Identifique
e
. Calcule
e
e mostre que a equação nāo é exata.
b) Verifique que
depende apenas de
e calcule o fator integrante
.
c) Multiplique a equação por
e resolva a equação exata resultante, encontrando a função potencial
.
d) Aplique a condição inicial e escreva a solução implícita
.
b) Verifique que
c) Multiplique a equação por
d) Aplique a condição inicial e escreva a solução implícita
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
com condição inicial
. As perguntas são:
- (a) Identificar
e ; calcular e e mostrar que a equação não é exata. - (b) Verificar que
depende apenas de e calcular o fator integrante . - (c) Multiplicar por
e resolver a equação exata resultante, encontrando a função potencial . - (d) Aplicar a condição inicial e escrever a solução implícita
.
Informações relevantes fornecidas:
- A equação está dada no formato
com termo multiplicando e termo multiplicando . - A condição inicial é
, o que permite escolher o sinal de quando aparecer valor absoluto.
Passo 2
Identificamos
e
a partir da equação:
Agora calculamos as derivadas parciais pedidas.
Cálculo de
:
Cálculo de
:
Comparando as derivadas:
logo
portanto a equação não é exata.
Passo 3
Calculamos a quantidade solicitada:
Simplificando (observe que
cancela, assumindo
):
Este resultado depende apenas de
, como pedido.
Quando essa expressão depende só de
, existe um fator integrante
que satisfaz
Integramos ambos os lados em relação a
:
Exponenciando, obtemos
Podemos escolher a constante multiplicativa
igual a
(fatores constantes só multiplicam a solução), e como a condição inicial tem
podemos tomar a forma simples
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
. A equação original é
, então a nova tem
e
:
Verificamos rapidamente que agora é exata (opcional, pois o fator foi construído para isso):
logo
e a equação multiplicada é exata.
Passo 5
Como a equação é exata, existe uma função potencial
tal que
Para encontrar
, integramos
em relação a
, tratando
como constante:
onde
é uma função arbitrária de
(constante de integração em relação a
).
Portanto
Agora impondo
:
Isto implica
, logo
é constante. Podemos absorver essa constante na constante geral da solução.
Assim a função potencial (até constante) é
Passo 6
A solução implícita geral é
Agora aplicamos a condição inicial
para determinar
:
Portanto
, e a solução implícita particular que satisfaz a condição inicial é
Opcionalmente pode-se multiplicar por
(para eliminar denominador) e escrever
mas a forma
já é uma solução implícita válida.