Contexto do problema: Uma empresa de construção está produzindo três tipos de concreto estrutural para diferentes partes de uma obra: fundação, pilares e lajes. Cada tipo de concreto utiliza quantidades diferentes de cimento, areia e brita.
A composição (em unidades de medida padronizadas) é:
Tipo de concreto
Cimento
Areia
Brita
Fundação
2
3
4
Pilar
3
2
5
Laje
1
2
3
Em determinado dia de obra foram utilizados:
20 unidades de cimento
19 unidades de areia
33 unidades de brita
Deseja-se saber quantos lotes de cada tipo de concreto foram produzidos.
Cada grupo deverá:
4 Resolver o do sistema utilizando Regra de Cramer ou Escalonamento.
Passo 1
O que o problema pede:
Determinar quantos lotes de cada tipo de concreto foram produzidos naquele dia: fundação, pilar e laje.
Informações fornecidas (dados da tabela e totais usados):
Composição por lote (peguei estes números do enunciado):
Totais usados no dia (peguei estes números do enunciado):
Cimento: \,20 unidades.
Areia: \,19 unidades.
Brita: \,33 unidades.
O enunciado pede resolver o sistema que relaciona os lotes produzidos com esses consumos, usando Regra de Cramer ou Escalonamento. Não é pedido que o resultado seja inteiro, apenas que se resolva o sistema.
Passo 2
Definição das incógnitas e construção do sistema linear:
Seja \,x o número de lotes de Fundação.
Seja \,y o número de lotes de Pilar.
Seja \,z o número de lotes de Laje.
Para o cimento: a soma das contribuições de cada tipo deve dar o total \,20, logo
Escolha do método e explicação da Regra de Cramer (resumida e didática):
Escolhi a Regra de Cramer porque temos um sistema 3\times3 com coeficientes inteiros pequenos; a Regra de Cramer dá a solução direta em termos de determinantes. Isso é prático aqui.
A Regra de Cramer diz: se D é o determinante da matriz dos coeficientes e D\neq0, entãox=\frac{D_x}{D},\qquad y=\frac{D_y}{D},\qquad z=\frac{D_z}{D},onde D_x é o determinante obtido substituindo a primeira coluna pelos termos independentes (os totais), D_y substitui a segunda coluna, e D_z substitui a terceira coluna.
Como calcular o determinante de uma matriz 3\times3 (regra de Sarrus):
Para a matriz
\begin{pmatrix} a & b & c\\\ d & e & f\\\ g & h & i \end{pmatrix},
o determinante é
a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg).
Vou usar essa fórmula passo a passo.
Passo 4
Cálculo do determinante principal D da matriz dos coeficientes:
Matriz dos coeficientes:
Verificação rápida (substituindo de volta no sistema — pode checar se quiser): as três equações são satisfeitas pelos valores acima, então a solução algébrica está correta.
Passo 9
Interpretação final e comentário prático (um toque de colega amigo):
Matematicamente, a solução é \,x=6, \,y=\tfrac{15}{4}, \,z=-\tfrac{13}{4}.
Na interpretação física (número de lotes), um valor negativo para \,z não faz sentido: \,z=-3{,}25 indica que os dados totais informados para cimento/areia/brita não são compatíveis com um número não-negativo de lotes de cada tipo; pode ser que houve erro na coleta dos totais ou arredondamentos. Se a questão apenas pede resolver o sistema linear, a solução acima é a correta.
Dica rápida: se fosse exigido que os resultados fossem inteiros e não-negativos, teria que verificar consistência dos dados ou usar métodos de ajuste (por exemplo mínimos quadrados) — mas isso já é outro tópico. Força aí — você já viu passo a passo como aplicar a Regra de Cramer; com prática isso fica bem automático!