Contexto do problema: Uma empresa de construção está produzindo três tipos de concreto estrutural para diferentes partes de uma obra: fundação, pilares e lajes. Cada tipo de concreto utiliza quantidades diferentes de cimento, areia e brita.
A composição (em unidades de medida padronizadas) é:
Tipo de concreto Cimento Areia Brita
Fundação 2 3 4
Pilar 3 2 5
Laje 1 2 3
Em determinado dia de obra foram utilizados:
  • 20 unidades de cimento
  • 19 unidades de areia
  • 33 unidades de brita
Deseja-se saber quantos lotes de cada tipo de concreto foram produzidos.
Cada grupo deverá:
4 Resolver o do sistema utilizando Regra de Cramer ou Escalonamento.

Passo 1

O que o problema pede:
  • Determinar quantos lotes de cada tipo de concreto foram produzidos naquele dia: fundação, pilar e laje.
Informações fornecidas (dados da tabela e totais usados):
  • Composição por lote (peguei estes números do enunciado):
    • Concreto Fundação: cimento \,2, areia \,3, brita \,4.
    • Concreto Pilar: cimento \,3, areia \,2, brita \,5.
    • Concreto Laje: cimento \,1, areia \,2, brita \,3.
  • Totais usados no dia (peguei estes números do enunciado):
    • Cimento: \,20 unidades.
    • Areia: \,19 unidades.
    • Brita: \,33 unidades.
O enunciado pede resolver o sistema que relaciona os lotes produzidos com esses consumos, usando Regra de Cramer ou Escalonamento. Não é pedido que o resultado seja inteiro, apenas que se resolva o sistema.

Passo 2

Definição das incógnitas e construção do sistema linear:
  • Seja \,x o número de lotes de Fundação.
  • Seja \,y o número de lotes de Pilar.
  • Seja \,z o número de lotes de Laje.
Para o cimento: a soma das contribuições de cada tipo deve dar o total \,20, logo
2x + 3y + 1z = 20.
Para a areia:
3x + 2y + 2z = 19.
Para a brita:
4x + 5y + 3z = 33.
Colocando em forma de sistema:
\begin{cases} 2x + 3y + z = 20,\\[4pt] 3x + 2y + 2z = 19,\\[4pt] 4x + 5y + 3z = 33. \end{cases}]

Passo 3

Escolha do método e explicação da Regra de Cramer (resumida e didática):
  • Escolhi a Regra de Cramer porque temos um sistema 3\times3 com coeficientes inteiros pequenos; a Regra de Cramer dá a solução direta em termos de determinantes. Isso é prático aqui.
  • A Regra de Cramer diz: se D é o determinante da matriz dos coeficientes e D\neq0, então x=\frac{D_x}{D},\qquad y=\frac{D_y}{D},\qquad z=\frac{D_z}{D},onde D_x é o determinante obtido substituindo a primeira coluna pelos termos independentes (os totais), D_y substitui a segunda coluna, e D_z substitui a terceira coluna.
Como calcular o determinante de uma matriz 3\times3 (regra de Sarrus):
Para a matriz
\begin{pmatrix} a & b & c\\\ d & e & f\\\ g & h & i \end{pmatrix},
o determinante é
a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg).
Vou usar essa fórmula passo a passo.

Passo 4

Cálculo do determinante principal D da matriz dos coeficientes:
Matriz dos coeficientes:
A=\begin{pmatrix} 2 & 3 & 1\\[4pt] 3 & 2 & 2\\[4pt] 4 & 5 & 3 \end{pmatrix}.
Aplicando a fórmula:
D = 2\bigl(2\cdot 3 - 2\cdot 5\bigr) - 3\bigl(3\cdot 3 - 2\cdot 4\bigr) + 1\bigl(3\cdot 5 - 2\cdot 4\bigr).
Calculemos passo a passo:
2\cdot 3 = 6,\qquad 2\cdot 5 = 10,\qquad 6-10 = -4,\qquad 2\cdot(-4) = -8.
3\cdot 3 = 9,\qquad 2\cdot 4 = 8,\qquad 9-8 = 1,\qquad -3\cdot 1 = -3.
3\cdot 5 = 15,\qquad 2\cdot 4 = 8,\qquad 15-8 = 7,\qquad 1\cdot 7 = 7.
Somando:
D = -8 + (-3) + 7 = -4.
Portanto \,D=-4. Como D\neq0, existe solução única e podemos aplicar Cramer.]

Passo 5

Cálculo de D_x (substitui primeira coluna pelos termos independentes (20,19,33)):
D_x = \begin{vmatrix} 20 & 3 & 1\\[4pt] 19 & 2 & 2\\[4pt] 33 & 5 & 3 \end{vmatrix}.
Usando a fórmula:
D_x = 20\bigl(2\cdot 3 - 2\cdot 5\bigr) - 3\bigl(19\cdot 3 - 2\cdot 33\bigr) + 1\bigl(19\cdot 5 - 2\cdot 33\bigr).
Calculemos:
2\cdot 3 = 6,\quad 2\cdot 5 = 10,\quad 6-10 = -4,\quad 20\cdot(-4) = -80.
19\cdot 3 = 57,\quad 2\cdot 33 = 66,\quad 57-66 = -9,\quad -3\cdot(-9) = +27.
19\cdot 5 = 95,\quad 2\cdot 33 = 66,\quad 95-66 = 29,\quad 1\cdot 29 = 29.
Somando:
D_x = -80 + 27 + 29 = -24.]

Passo 6

Cálculo de D_y (substitui segunda coluna pelos termos independentes):
D_y = \begin{vmatrix} 2 & 20 & 1\\[4pt] 3 & 19 & 2\\[4pt] 4 & 33 & 3 \end{vmatrix}.
Aplicando a fórmula:
D_y = 2\bigl(19\cdot 3 - 2\cdot 33\bigr) - 20\bigl(3\cdot 3 - 2\cdot 4\bigr) + 1\bigl(3\cdot 33 - 19\cdot 4\bigr).
Calculemos:
19\cdot 3 = 57,\quad 2\cdot 33 = 66,\quad 57-66 = -9,\quad 2\cdot(-9) = -18.
3\cdot 3 = 9,\quad 2\cdot 4 = 8,\quad 9-8 = 1,\quad -20\cdot 1 = -20.
3\cdot 33 = 99,\quad 19\cdot 4 = 76,\quad 99-76 = 23,\quad 1\cdot 23 = 23.
Somando:
D_y = -18 + (-20) + 23 = -15.]

Passo 7

Cálculo de D_z (substitui terceira coluna pelos termos independentes):
D_z = \begin{vmatrix} 2 & 3 & 20\\[4pt] 3 & 2 & 19\\[4pt] 4 & 5 & 33 \end{vmatrix}.
Aplicando a fórmula:
D_z = 2\bigl(2\cdot 33 - 19\cdot 5\bigr) - 3\bigl(3\cdot 33 - 19\cdot 4\bigr) + 20\bigl(3\cdot 5 - 2\cdot 4\bigr).
Calculemos:
2\cdot 33 = 66,\quad 19\cdot 5 = 95,\quad 66-95 = -29,\quad 2\cdot(-29) = -58.
3\cdot 33 = 99,\quad 19\cdot 4 = 76,\quad 99-76 = 23,\quad -3\cdot 23 = -69.
3\cdot 5 = 15,\quad 2\cdot 4 = 8,\quad 15-8 = 7,\quad 20\cdot 7 = 140.
Somando:
D_z = -58 + (-69) + 140 = 13.]

Passo 8

Cálculo das incógnitas usando Cramer:
x=\frac{D_x}{D}=\frac{-24}{-4} = 6.
y=\frac{D_y}{D}=\frac{-15}{-4} = \frac{15}{4} = 3{,}75.
z=\frac{D_z}{D}=\frac{13}{-4} = -\frac{13}{4} = -3{,}25.
Verificação rápida (substituindo de volta no sistema — pode checar se quiser): as três equações são satisfeitas pelos valores acima, então a solução algébrica está correta.

Passo 9

Interpretação final e comentário prático (um toque de colega amigo):
  • Matematicamente, a solução é \,x=6, \,y=\tfrac{15}{4}, \,z=-\tfrac{13}{4}.
  • Na interpretação física (número de lotes), um valor negativo para \,z não faz sentido: \,z=-3{,}25 indica que os dados totais informados para cimento/areia/brita não são compatíveis com um número não-negativo de lotes de cada tipo; pode ser que houve erro na coleta dos totais ou arredondamentos. Se a questão apenas pede resolver o sistema linear, a solução acima é a correta.
  • Dica rápida: se fosse exigido que os resultados fossem inteiros e não-negativos, teria que verificar consistência dos dados ou usar métodos de ajuste (por exemplo mínimos quadrados) — mas isso já é outro tópico. Força aí — você já viu passo a passo como aplicar a Regra de Cramer; com prática isso fica bem automático!

Resposta

x = 6
y = \dfrac{15}{4}
z = -\dfrac{13}{4}

Exercícios relacionados