Resolva cada um dos PVI’s:
x^{2} y^{\prime \prime}+5 x y^{\prime}+8 y=8 x^{6} ; \quad y(1 / 2)=0 ; \quad y^{\prime}(1 / 2)=0

Passo 1

O problema pede a solução do problema de valor inicial (PVI)
x^{2}y''+5x y'+8y=8x^{6},\qquad y\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=0,\qquad y'\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=0.
Informações dadas:
  • Equação diferencial de segunda ordem com coeficientes que são potências de x: os termos são x^{2}y'', 5x y' e 8y.
  • Termo não-homogêneo: 8x^{6}.
  • Condições iniciais: y\big(\tfrac{1}{2}\big)=0 e y'\big(\tfrac{1}{2}\big)=0.

Passo 2

Escolhemos primeiro resolver a equação homogênea associada (ou seja, com o lado direito igual a zero). Para esse tipo de equação onde os coeficientes são potências compatíveis de x (como x^{2},x,1), um palpite padrão é procurar soluções da forma y=x^{m}. Vou mostrar por que esse palpite funciona e como usá-lo.
Suponha y=x^{m}. Então
y'=m x^{m-1},\qquad y''=m(m-1)x^{m-2}.
Substituindo na parte homogênea x^{2}y''+5x y'+8y=0 obtemos
x^{2}\big(m(m-1)x^{m-2}\big)+5x\big(m x^{m-1}\big)+8 x^{m}=0.
Fatorando x^{m} (que para x\neq0 não é zero) sobra a equação característica em m:
m(m-1)+5m+8=0.
Desenvolvendo,
m^{2}+4m+8=0.
Resolvendo a quadrática:
m=\frac{-4\pm\sqrt{16-32}}{2}=\frac{-4\pm\sqrt{-16}}{2}=-2\pm 2i.

Passo 3

Quando as raízes são complexas conjugadas \alpha\pm i\beta, a forma geral das soluções homogêneas é
y_{h}(x)=x^{\alpha}\big(C_{1}\cos(\beta\ln x)+C_{2}\sin(\beta\ln x)\big).
Aqui \alpha=-2 e \beta=2. Portanto a solução geral da homogênea é
y_{h}(x)=x^{-2}\big(C_{1}\cos(2\ln x)+C_{2}\sin(2\ln x)\big),
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias. (Pequena intuição: a dependência em \ln x aparece porque derivar \cos(\beta\ln x) gera um fator 1/x, que combina com x^{-2} para reproduzir a equação.)

Passo 4

Agora buscamos uma solução particular y_{p} da equação completa. O termo à direita é 8x^{6}, uma potência de x. É natural tentar y_{p}=A x^{6} com A constante. Calculemos:
y_{p}'=6A x^{5},\qquad y_{p}''=30A x^{4}.
Substituindo na equação:
x^{2}(30A x^{4})+5x(6A x^{5})+8(A x^{6})=8x^{6}.
Simplificando os fatores em x^{6}:
(30A+30A+8A)x^{6}=68A x^{6}=8x^{6}.
Logo
68A=8\quad\Rightarrow\quad A=\frac{8}{68}=\frac{2}{17}.
Portanto
y_{p}(x)=\frac{2}{17}x^{6}.

Passo 5

A solução geral da equação não-homogênea é suma da homogênea com a particular:
y(x)=x^{-2}\big(C_{1}\cos(2\ln x)+C_{2}\sin(2\ln x)\big)+\frac{2}{17}x^{6}.
Agora precisamos aplicar as condições iniciais para determinar C_{1} e C_{2}. Para isso é preciso calcular y'(x). Vou diferenciar a parte oscilatória com cuidado usando produto e cadeia.
Defina u(x)=x^{-2} e v(x)=C_{1}\cos(2\ln x)+C_{2}\sin(2\ln x). Então y_{osc}=u v.
u'(x)=-2x^{-3}.
Para v,
\frac{d}{dx}\cos(2\ln x)=-\sin(2\ln x)\cdot\frac{2}{x},\qquad \frac{d}{dx}\sin(2\ln x)=\cos(2\ln x)\cdot\frac{2}{x}.
Logo
v'(x)=\frac{2}{x}\big(-C_{1}\sin(2\ln x)+C_{2}\cos(2\ln x)\big).
Aplicando a regra do produto:
\frac{d}{dx}\big(x^{-2}v\big)=u'v+u v' =-2x^{-3}v + x^{-2}\cdot\frac{2}{x}\big(-C_{1}\sin(2\ln x)+C_{2}\cos(2\ln x)\big).
Fatorando 2x^{-3} e reorganizando os termos trigonométricos obtemos
\frac{d}{dx}\big(x^{-2}v\big)=2x^{-3}\Big((C_{2}-C_{1})\cos(2\ln x)-(C_{1}+C_{2})\sin(2\ln x)\Big).
A derivada da parte particular é simples:
\frac{d}{dx}\left(\frac{2}{17}x^{6}\right)=\frac{12}{17}x^{5}.
Portanto
y'(x)=2x^{-3}\Big((C_{2}-C_{1})\cos(2\ln x)-(C_{1}+C_{2})\sin(2\ln x)\Big)+\frac{12}{17}x^{5}.

Passo 6

Agora aplicamos as condições em x=\tfrac{1}{2}. Vamos anotar
\varphi:=2\ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right)= -2\ln 2, \qquad a:=\cos\varphi,\qquad b:=\sin\varphi.
Calculemos primeiro y\!\left(\tfrac{1}{2}\right). Note que \left(\tfrac{1}{2}\right)^{-2}=4 e \left(\tfrac{1}{2}\right)^{6}=\tfrac{1}{64}. Assim
y\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=4\big(C_{1}a+C_{2}b\big)+\frac{2}{17}\cdot\frac{1}{64}.
Como \tfrac{2}{17}\cdot\tfrac{1}{64}=\tfrac{1}{544} e a condição é y\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=0, obtemos a primeira equação
C_{1}a+C_{2}b=-\frac{1}{2176}.
Agora y'\!\left(\tfrac{1}{2}\right). Note que \left(\tfrac{1}{2}\right)^{-3}=8 e \left(\tfrac{1}{2}\right)^{5}=\tfrac{1}{32}. Então
y'\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=2\cdot 8\Big((C_{2}-C_{1})a-(C_{1}+C_{2})b\Big)+\frac{12}{17}\cdot\frac{1}{32}.
Como 2\cdot 8=16 e \tfrac{12}{17}\cdot\tfrac{1}{32}=\tfrac{3}{136}, e impondo y'\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=0, dividindo tudo por 16 obtemos a segunda equação
(C_{2}-C_{1})a-(C_{1}+C_{2})b=-\frac{3}{2176}.
Escrevendo o sistema linear para C_{1},C_{2}:
\begin{cases} a C_{1}+b C_{2}=-\dfrac{1}{2176},\\[6pt] (-a-b)C_{1}+(a-b)C_{2}=-\dfrac{3}{2176}. \end{cases}]

Passo 7

Vamos resolver o sistema. O determinante da matriz dos coeficientes é
\Delta=a(a-b)-b(-a-b)=a^{2}+b^{2}=1,
pois a=\cos\varphi e b=\sin\varphi. Como \Delta=1, a solução vem direto por regra de Cramer:
Para C_{1}:
C_{1}=\frac{(-\frac{1}{2176})(a-b)-b(-\frac{3}{2176})}{1} =\frac{-a+b+3b}{2176}=\frac{-a+4b}{2176}.
Para C_{2}:
C_{2}=\frac{a(-\tfrac{3}{2176})-(-\tfrac{1}{2176})(-a-b)}{1} =\frac{-3a-(a+b)}{2176}=\frac{-4a-b}{2176}.
Lembrando que a=\cos\!\big(2\ln(\tfrac{1}{2})\big)=\cos( -2\ln 2)=\cos(2\ln 2) e b=\sin\!\big(2\ln(\tfrac{1}{2})\big)=\sin(-2\ln 2)=-\sin(2\ln 2), podemos, se quiser, reescrever C_{1},C_{2} em termos de \cos(2\ln 2) e \sin(2\ln 2); mantê-los em a,b deixa a expressão compacta.

Passo 8

Substituindo C_{1} e C_{2} na solução geral obtemos a solução única do PVI:
y(x)=x^{-2}\Big(\frac{-a+4b}{2176}\cos(2\ln x)+\frac{-4a-b}{2176}\sin(2\ln x)\Big)+\frac{2}{17}x^{6},
onde a=\cos\!\big(2\ln(\tfrac{1}{2})\big) e b=\sin\!\big(2\ln(\tfrac{1}{2})\big). Esta fórmula é equivalente à mesma solução com a,b expressos diretamente por \cos e \sin de -2\ln 2.

Resposta

y(x)=x^{-2}\Big(\frac{-\cos(2\ln(\tfrac{1}{2}))+4\sin(2\ln(\tfrac{1}{2}))}{2176}\cos(2\ln x) +\frac{-4\cos(2\ln(\tfrac{1}{2}))-\sin(2\ln(\tfrac{1}{2}))}{2176}\sin(2\ln x)\Big)+\frac{2}{17}x^{6}.

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