Equação diferencial de segunda ordem com coeficientes que são potências de x: os termos são x^{2}y'', 5x y' e 8y.
Termo não-homogêneo: 8x^{6}.
Condições iniciais: y\big(\tfrac{1}{2}\big)=0 e y'\big(\tfrac{1}{2}\big)=0.
Passo 2
Escolhemos primeiro resolver a equação homogênea associada (ou seja, com o lado direito igual a zero). Para esse tipo de equação onde os coeficientes são potências compatíveis de x (como x^{2},x,1), um palpite padrão é procurar soluções da forma y=x^{m}. Vou mostrar por que esse palpite funciona e como usá-lo.
Suponha y=x^{m}. Então
y'=m x^{m-1},\qquad y''=m(m-1)x^{m-2}.
Substituindo na parte homogênea x^{2}y''+5x y'+8y=0 obtemos
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias. (Pequena intuição: a dependência em \ln x aparece porque derivar \cos(\beta\ln x) gera um fator 1/x, que combina com x^{-2} para reproduzir a equação.)
Passo 4
Agora buscamos uma solução particular y_{p} da equação completa. O termo à direita é 8x^{6}, uma potência de x. É natural tentar y_{p}=A x^{6} com A constante. Calculemos:
Agora precisamos aplicar as condições iniciais para determinar C_{1} e C_{2}. Para isso é preciso calcular y'(x). Vou diferenciar a parte oscilatória com cuidado usando produto e cadeia.
Defina u(x)=x^{-2} e v(x)=C_{1}\cos(2\ln x)+C_{2}\sin(2\ln x). Então y_{osc}=u v.
Como 2\cdot 8=16 e \tfrac{12}{17}\cdot\tfrac{1}{32}=\tfrac{3}{136}, e impondo y'\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=0, dividindo tudo por 16 obtemos a segunda equação
(C_{2}-C_{1})a-(C_{1}+C_{2})b=-\frac{3}{2176}.
Escrevendo o sistema linear para C_{1},C_{2}:
\begin{cases} a C_{1}+b C_{2}=-\dfrac{1}{2176},\\[6pt] (-a-b)C_{1}+(a-b)C_{2}=-\dfrac{3}{2176}. \end{cases}]
Passo 7
Vamos resolver o sistema. O determinante da matriz dos coeficientes é
\Delta=a(a-b)-b(-a-b)=a^{2}+b^{2}=1,
pois a=\cos\varphi e b=\sin\varphi. Como \Delta=1, a solução vem direto por regra de Cramer:
Lembrando que a=\cos\!\big(2\ln(\tfrac{1}{2})\big)=\cos( -2\ln 2)=\cos(2\ln 2) e b=\sin\!\big(2\ln(\tfrac{1}{2})\big)=\sin(-2\ln 2)=-\sin(2\ln 2), podemos, se quiser, reescrever C_{1},C_{2} em termos de \cos(2\ln 2) e \sin(2\ln 2); mantê-los em a,b deixa a expressão compacta.
Passo 8
Substituindo C_{1} e C_{2} na solução geral obtemos a solução única do PVI:
onde a=\cos\!\big(2\ln(\tfrac{1}{2})\big) e b=\sin\!\big(2\ln(\tfrac{1}{2})\big). Esta fórmula é equivalente à mesma solução com a,b expressos diretamente por \cos e \sin de -2\ln 2.