No contexto de resistência dos materiais, a função f(x)=10,04 x^{4}-5,11 x^{3}+9,19 x^{2}-5,81 x-5,64 é utilizada num estudo do comportamento dos mesmos, onde f(x) determina o comprimento da fissura e \boldsymbol{x}>\mathbf{0} é a fração do número de ciclos de propagação.
É desejado saber para que valores de \boldsymbol{x} a velocidade de propagação é nula, ou seja, quando o comprimento da fissura não aumenta. Sabendo que o valor de \boldsymbol{x} pertence ao intervalo [ 0.81,0.99 ], utilize o método da Secante para estimá-lo, usando como critério de parada um erro relativo de \epsilon=10^{-3}. Utilize pelo menos 4 casas decimais.

Passo 1

O enunciado fornece:
  • A função que determina o comprimento da fissura: f(x)=10,04\,x^{4}-5,11\,x^{3}+9,19\,x^{2}-5,81\,x-5,64.
  • A variável x>0 é a fração do número de ciclos de propagação.
  • O valor procurado (o ponto em que a “velocidade de propagação é nula, ou seja, quando o comprimento da fissura não aumenta”) está no intervalo [0,81,\,0,99].
  • O método a usar: método da Secante.
  • Critério de parada: erro relativo \epsilon=10^{-3}.
    A pergunta que vou responder: estimar o valor de x\in[0,81,0,99] que satisfaz a condição indicada, usando o método da Secante e o critério de parada dado.

Passo 2

Interpretação do objetivo e verificação rápida.
  • “Velocidade de propagação” normalmente é a taxa de variação do comprimento em relação a x, isto é, f'(x). Se a enunciação quisesse estritamente o ponto em que a derivada se anula, deveríamos procurar raízes de f'(x).
  • Vou checar rapidamente os sinais de f'(x) nas extremidades do intervalo para ver se existe uma raiz de f'(x) em [0,81,0,99].
Calculo f'(x) (derivada de f):
f'(x)=40,16\,x^{3}-15,33\,x^{2}+18,38\,x-5,81.
Avalio nos extremos (vou apresentar valores aproximados):
  • Para x=0,81: f'(0,81)\approx 20,3625 (positivo).
  • Para x=0,99: f'(0,99)\approx 36,3285 (positivo).
Conclusão desta verificação: f'(x) é positivo nos extremos e não há indicação de troca de sinal no intervalo; portanto não há garantia de que exista uma raiz de f'(x)=0 dentro de [0,81,0,99]. Por outro lado, avaliando f(x) nos extremos:
  • f(0,81)\approx -2,7103,
  • f(0,99)\approx 2,3014,
    houve mudança de sinal, então existe (por continuidade) pelo menos uma raiz de f(x)=0 em [0,81,0,99].
Dado que o enunciado pede para usar o método da Secante e que existe uma raiz de f(x) no intervalo fornecido, vou aplicar o método da Secante para encontrar a raiz de
f(x)=0
no intervalo [0,81,0,99]. (Observação: fiz a checagem da derivada para não aplicar cegamente o método a f' quando não há raiz confirmada nesse intervalo.)

Passo 3

Breve aula sobre o método da Secante (didático e simples).
  • O método da Secante busca uma raiz de f(x)=0 a partir de duas aproximações iniciais x_{0} e x_{1}.
  • A fórmula iterativa é x_{n+1}=x_{n}-f(x_{n})\cdot\frac{x_{n}-x_{n-1}}{f(x_{n})-f(x_{n-1})}.Explicando cada termo:
    • x_{n-1},x_{n} são as duas últimas aproximações;
    • f(x_{n}) e f(x_{n-1}) são os valores da função nessas aproximações;
    • A fração calcula a interseção da secante (reta que liga os pontos (x_{n-1},f(x_{n-1})) e (x_{n},f(x_{n}))) com o eixo x.
  • Critério de parada pedido: erro relativo \text{erro relativo}=\left|\frac{x_{n+1}-x_{n}}{x_{n+1}}\right|<\epsilon,com \epsilon=10^{-3}.
  • Vou usar as extremidades do intervalo como chutes iniciais: x_{0}=0,81 e x_{1}=0,99.
  • Em cada iteração vou calcular f(x) com precisão suficiente e manter pelo menos 4 casas decimais nas aproximações finais.

Passo 4

Primeira avaliação inicial (já feita na verificação):
f(0,81)\approx -2,71031372,\qquad f(0,99)\approx 2,30137505.
Usamos x_{0}=0,81, x_{1}=0,99.
Aplicando a fórmula da Secante para obter x_{2}:
x_{2}=x_{1}-f(x_{1})\cdot\frac{x_{1}-x_{0}}{f(x_{1})-f(x_{0})}.
Substituindo os valores:
x_{2}=0,99 - 2,30137505\cdot\frac{0,99-0,81}{2,30137505-(-2,71031372)}.
Calculei passo a passo:
  • x_{1}-x_{0}=0,18.
  • f(x_{1})-f(x_{0})=2,30137505+2,71031372=5,01168877.
  • Fração = \dfrac{2,30137505\cdot 0,18}{5,01168877}\approx 0,0826568.
    Logo
x_{2}\approx 0,99-0,0826568=0,9073432.
Avaliação f(x_{2}):
  • Calculei f(0,9073432)\approx -0,35804920.

Passo 5

Segunda iteração (usando os dois últimos pontos x_{1}=0,99 e x_{2}=0,9073432):
x_{3}=x_{2}-f(x_{2})\cdot\frac{x_{2}-x_{1}}{f(x_{2})-f(x_{1})}.
Substituindo:
  • x_{2}-x_{1}=0,9073432-0,99=-0,0826568.
  • f(x_{2})-f(x_{1})=-0,35804920-2,30137505=-2,65942425.
  • Produto f(x_{2})(x_{2}-x_{1})=(-0,35804920)(-0,0826568)=+0,029585 (aprox).
  • Fração =0,029585 / (-2,65942425)\approx -0,0111290.
    Então
x_{3}\approx 0,9073432 - (-0,0111290)=0,9184722.
Avaliação f(x_{3}):
  • Calculei f(0,9184722)\approx -0,03810123.
Cálculo do erro relativo entre x_{3} e x_{2}:
\left|\frac{x_{3}-x_{2}}{x_{3}}\right|=\frac{0,0111290}{0,9184722}\approx 0,01212>10^{-3},
então continuo.

Passo 6

Terceira iteração (usando x_{2}=0,9073432 e x_{3}=0,9184722):
x_{4}=x_{3}-f(x_{3})\cdot\frac{x_{3}-x_{2}}{f(x_{3})-f(x_{2})}.
Substituindo:
  • x_{3}-x_{2}=0,0111290.
  • f(x_{3})-f(x_{2})=(-0,03810123)-(-0,35804920)=0,31994797.
  • Produto f(x_{3})(x_{3}-x_{2})=(-0,03810123)(0,0111290)=-0,00042401.
  • Fração =-0,00042401/0,31994797\approx -0,0013245.
    Logo
x_{4}\approx 0,9184722 - (-0,0013245)=0,9197967.
Avaliação f(x_{4}):
  • Calculei f(0,9197967)\approx +0,00066224.
Cálculo do erro relativo entre x_{4} e x_{3}:
\left|\frac{x_{4}-x_{3}}{x_{4}}\right|=\frac{0,0013245}{0,9197967}\approx 0,00144>10^{-3},
então ainda não satisfaz o critério; prossigo.

Passo 7

Quarta (e última necessária) iteração (usando x_{3}=0,9184722 e x_{4}=0,9197967):
x_{5}=x_{4}-f(x_{4})\cdot\frac{x_{4}-x_{3}}{f(x_{4})-f(x_{3})}.
Substituindo:
  • x_{4}-x_{3}=0,0013245.
  • f(x_{4})-f(x_{3})=0,00066224-(-0,03810123)=0,03876347.
  • Produto f(x_{4})(x_{4}-x_{3})=0,00066224\cdot 0,0013245\approx 0,0000008770.
  • Fração \approx 0,0000008770/0,03876347\approx 0,00002262.
    Logo
x_{5}\approx 0,9197967-0,00002262=0,9197741.
Cálculo do erro relativo entre x_{5} e x_{4}:
\left|\frac{x_{5}-x_{4}}{x_{5}}\right|=\frac{0,00002262}{0,9197741}\approx 2{,}46\times 10^{-5}<10^{-3}.
Portanto o critério de parada foi satisfeito.
Observações numéricas: as avaliações de f em cada iteração foram feitas com arredondamento compatível para manter pelo menos 4 casas decimais nas aproximações finais; os valores informados de x_{n} e f(x_{n}) estão arredondados de modo consistente para transparência do cálculo.

Resposta

\,0,919774

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