No contexto de resistência dos materiais, a função f(x)=10,04 x^{4}-5,11 x^{3}+9,19 x^{2}-5,81 x-5,64 é utilizada num estudo do comportamento dos mesmos, onde f(x) determina o comprimento da fissura e \boldsymbol{x}>\mathbf{0} é a fração do número de ciclos de propagação.
É desejado saber para que valores de \boldsymbol{x} a velocidade de propagação é nula, ou seja, quando o comprimento da fissura não aumenta. Sabendo que o valor de \boldsymbol{x} pertence ao intervalo [ 0.81,0.99 ], utilize o método da Secante para estimá-lo, usando como critério de parada um erro relativo de \epsilon=10^{-3}. Utilize pelo menos 4 casas decimais.
Passo 1
O enunciado fornece:
A função que determina o comprimento da fissura:f(x)=10,04\,x^{4}-5,11\,x^{3}+9,19\,x^{2}-5,81\,x-5,64.
A variável x>0 é a fração do número de ciclos de propagação.
O valor procurado (o ponto em que a “velocidade de propagação é nula, ou seja, quando o comprimento da fissura não aumenta”) está no intervalo [0,81,\,0,99].
O método a usar: método da Secante.
Critério de parada: erro relativo \epsilon=10^{-3}.
A pergunta que vou responder: estimar o valor de x\in[0,81,0,99] que satisfaz a condição indicada, usando o método da Secante e o critério de parada dado.
Passo 2
Interpretação do objetivo e verificação rápida.
“Velocidade de propagação” normalmente é a taxa de variação do comprimento em relação a x, isto é, f'(x). Se a enunciação quisesse estritamente o ponto em que a derivada se anula, deveríamos procurar raízes de f'(x).
Vou checar rapidamente os sinais de f'(x) nas extremidades do intervalo para ver se existe uma raiz de f'(x) em [0,81,0,99].
Calculo f'(x) (derivada de f):
f'(x)=40,16\,x^{3}-15,33\,x^{2}+18,38\,x-5,81.
Avalio nos extremos (vou apresentar valores aproximados):
Para x=0,81: f'(0,81)\approx 20,3625 (positivo).
Para x=0,99: f'(0,99)\approx 36,3285 (positivo).
Conclusão desta verificação: f'(x) é positivo nos extremos e não há indicação de troca de sinal no intervalo; portanto não há garantia de que exista uma raiz de f'(x)=0 dentro de [0,81,0,99]. Por outro lado, avaliando f(x) nos extremos:
f(0,81)\approx -2,7103,
f(0,99)\approx 2,3014,
houve mudança de sinal, então existe (por continuidade) pelo menos uma raiz de f(x)=0 em [0,81,0,99].
Dado que o enunciado pede para usar o método da Secante e que existe uma raiz de f(x) no intervalo fornecido, vou aplicar o método da Secante para encontrar a raiz de
f(x)=0
no intervalo [0,81,0,99]. (Observação: fiz a checagem da derivada para não aplicar cegamente o método a f' quando não há raiz confirmada nesse intervalo.)
Passo 3
Breve aula sobre o método da Secante (didático e simples).
O método da Secante busca uma raiz de f(x)=0 a partir de duas aproximações iniciais x_{0} e x_{1}.
A fórmula iterativa éx_{n+1}=x_{n}-f(x_{n})\cdot\frac{x_{n}-x_{n-1}}{f(x_{n})-f(x_{n-1})}.Explicando cada termo:
x_{n-1},x_{n} são as duas últimas aproximações;
f(x_{n}) e f(x_{n-1}) são os valores da função nessas aproximações;
A fração calcula a interseção da secante (reta que liga os pontos (x_{n-1},f(x_{n-1})) e (x_{n},f(x_{n}))) com o eixo x.
Critério de parada pedido: erro relativo\text{erro relativo}=\left|\frac{x_{n+1}-x_{n}}{x_{n+1}}\right|<\epsilon,com \epsilon=10^{-3}.
Vou usar as extremidades do intervalo como chutes iniciais: x_{0}=0,81 e x_{1}=0,99.
Em cada iteração vou calcular f(x) com precisão suficiente e manter pelo menos 4 casas decimais nas aproximações finais.
Passo 4
Primeira avaliação inicial (já feita na verificação):
Observações numéricas: as avaliações de f em cada iteração foram feitas com arredondamento compatível para manter pelo menos 4 casas decimais nas aproximações finais; os valores informados de x_{n} e f(x_{n}) estão arredondados de modo consistente para transparência do cálculo.