Gere valores entre
, identifique um intervalo onde exista uma raiz e a encontre utilizando o método da Bisseção, para a função:
precisão 0.001 . Obs.: utilize pelo menos 4 casas decimais em seus cálculos.
Resposta: □
□
□
Passo 1
O enunciado pede que eu gere valores no intervalo
, encontre um subintervalo onde exista uma raiz e, em seguida, determine essa raiz usando o método da Bisseção com precisão
. Há um pequeno problema de notação no enunciado: a função veio como
. Vou assumir que isso é um erro de digitação e que a função correta é
Informações dadas:
- Intervalo onde procurar raízes:
. - Função:
. - Precisão desejada:
. - Requisito extra: usar pelo menos 4 casas decimais nos cálculos intermediários.
Passo 2
Explicação rápida e didática do método da Bisseção:
- O método da bisseção exige um intervalo inicial
tal que e tenham sinais opostos ( ). Pelo Teorema do Valor Intermediário, então existe pelo menos uma raiz em . - Em cada iteração calcula-se o ponto médio
e o valor . - Se
(caso raro), é a raiz. Se tem o mesmo sinal que , substitui-se ; caso contrário substitui-se . - Repete-se até que o comprimento do intervalo
seja menor que a tolerância desejada (aqui ). A raiz é então aproximada por (ou qualquer ponto dentro do intervalo final). - Fórmulas usadas:
Vou usar esses passos e mostrar todos os cálculos com pelo menos 4 casas decimais.
Passo 3
Gerando alguns valores em
(vou usar pontos inteiros) e calculando
. Para avaliar
eu reduzo o argumento módulo
quando necessário e aproximações são feitas com pelo menos 4 casas decimais.
-
.
Reduzindo
módulo
: como
,
. Subtraio
voltas de
:
. Como
é par,
-
.
Redução:
.
.
-
.
Redução:
. Como
e
, tem-se
.
Observação: usei aproximações com pelo menos 4 casas decimais em cada valor final acima.
Passo 4
Identificação do intervalo com mudança de sinal:
-
(negativo) -
(positivo)
Logo existe pelo menos uma raiz em. Esse será o intervalo inicial para aplicar a Bisseção: , .
Passo 5
Iteração 1:
Calcular
:
Reduzindo e calculando
: obtemos
(positivo).
Sinais: ,
→ nova escolha:
,
.
Sinais:
Passo 6
Iteração 2:
Calcular
:
(positivo). Então
,
.
Passo 7
Iteração 3:
(positivo). Então
,
.
Passo 8
Iteração 4:
(negativo). Agora
tem mesmo sinal que
(ambos negativos), então atualizo
,
.
Passo 9
Iteração 5:
(negativo). Atualizo
,
.
Passo 10
Iteração 6:
(negativo). Atualizo
,
.
Passo 11
Iteração 7:
(positivo). Agora sinal trocou:
(negativo),
(positivo).
Passo 12
Iteração 8:
(negativo). Atualizo
,
.
O comprimento do intervalo agora é
O comprimento do intervalo agora é
Ainda maior que
, então continuo.
Passo 13
Iteração 9:
(positivo). Atualizo
,
.
Passo 14
Iteração 10:
(positivo). Agora o intervalo é
Ainda maior que
, mas ao atualizar conforme o sinal (a permanece
, b torna-se
), obtemos depois mais uma iteração que reduz o comprimento abaixo de
. No entanto, podemos também aceitar uma condição ligeiramente mais restritiva: ao repetir uma iteração adicional temos o intervalo final com largura menor que
.
Passo 15
Parada e aproximação final:
Após as iterações, o intervalo final com mudança de sinal (onde tem sinais opostos) é aproximadamente
Após as iterações, o intervalo final com mudança de sinal (onde
cujo comprimento é
A aproximação da raiz pode ser tomada pelo ponto médio do intervalo final:
Arredondando para a precisão pedida
(três casas decimais) temos
.