Gere valores entre [-10,-6], identifique um intervalo onde exista uma raiz e a encontre utilizando o método da Bisseção, para a função: y=\cos (2-(x, 2)) \operatorname{com} precisão 0.001 . Obs.: utilize pelo menos 4 casas decimais em seus cálculos.
Resposta: □

Passo 1

O enunciado pede que eu gere valores no intervalo [-10,-6], encontre um subintervalo onde exista uma raiz e, em seguida, determine essa raiz usando o método da Bisseção com precisão 0,001. Há um pequeno problema de notação no enunciado: a função veio como y=\cos(2-(x, 2)). Vou assumir que isso é um erro de digitação e que a função correta é
y=\cos\bigl(2 - x^{2}\bigr).
Informações dadas:
  • Intervalo onde procurar raízes: [-10,-6].
  • Função: \;f(x)=\cos\bigl(2 - x^{2}\bigr).
  • Precisão desejada: 0,001.
  • Requisito extra: usar pelo menos 4 casas decimais nos cálculos intermediários.

Passo 2

Explicação rápida e didática do método da Bisseção:
  • O método da bisseção exige um intervalo inicial [a,b] tal que f(a) e f(b) tenham sinais opostos ( f(a)\cdot f(b)<0). Pelo Teorema do Valor Intermediário, então existe pelo menos uma raiz em [a,b].
  • Em cada iteração calcula-se o ponto médio m=\dfrac{a+b}{2} e o valor f(m).
  • Se f(m)=0 (caso raro), m é a raiz. Se f(m) tem o mesmo sinal que f(a), substitui-se a\leftarrow m; caso contrário substitui-se b\leftarrow m.
  • Repete-se até que o comprimento do intervalo b-a seja menor que a tolerância desejada (aqui 0,001). A raiz é então aproximada por m (ou qualquer ponto dentro do intervalo final).
  • Fórmulas usadas: m=\frac{a+b}{2},\qquad\text{critério de parada: } b-a<0,001.é
Vou usar esses passos e mostrar todos os cálculos com pelo menos 4 casas decimais.

Passo 3

Gerando alguns valores em [-10,-6] (vou usar pontos inteiros) e calculando f(x)=\cos(2-x^{2}). Para avaliar \cos eu reduzo o argumento módulo 2\pi quando necessário e aproximações são feitas com pelo menos 4 casas decimais.
  1. x=-10.
x^{2}=100,\qquad 2-x^{2}=2-100=-98.
Reduzindo -98 módulo 2\pi: como 2\pi\approx6{,}283185, 98\div 6{,}283185\approx15{,}608. Subtraio 15 voltas de 2\pi: -98 \equiv -98 + 15\cdot 2\pi \approx -98 + 94{,}247775 = -3{,}752225. Como \cos é par,
f(-10)=\cos(-98)=\cos(3{,}752225)\approx -0{,}8194.
  1. x=-9.
x^{2}=81,\qquad 2-x^{2}=2-81=-79.
Redução: -79 + 12\cdot 2\pi \approx -79 + 75{,}398220 = -3{,}601780. \cos(3{,}601780)\approx -0{,}8960.
f(-9)\approx -0{,}8960.
  1. x=-8.
x^{2}=64,\qquad 2-x^{2}=2-64=-62.
Redução: -62 + 9\cdot 2\pi \approx -62 + 56{,}548667 = -5{,}451333. Como \cos(-5{,}451333)=\cos(5{,}451333) e 5{,}451333=2\pi-0{,}831852, tem-se \cos(5{,}451333)=\cos(0{,}831852)\approx 0{,}6739.
f(-8)\approx 0{,}6739.
Observação: usei aproximações com pelo menos 4 casas decimais em cada valor final acima.

Passo 4

Identificação do intervalo com mudança de sinal:
  • f(-9)\approx -0{,}8960 (negativo)
  • f(-8)\approx 0{,}6739 (positivo)
    Logo existe pelo menos uma raiz em [-9,-8]. Esse será o intervalo inicial para aplicar a Bisseção: a_{0}=-9, b_{0}=-8.

Passo 5

Iteração 1:
m_{1}=\frac{-9 + (-8)}{2} = -8{,}5.
Calcular f(-8{,}5):
x^{2}=72{,}25,\qquad 2-x^{2}=2-72{,}25=-70{,}25.
Reduzindo e calculando \cos: obtemos f(-8{,}5)\approx 0{,}4221 (positivo).
Sinais: f(a_{0})<0, f(m_{1})>0 → nova escolha: a_{1}=-9, b_{1}=-8{,}5.

Passo 6

Iteração 2:
m_{2}=\frac{-9 + (-8{,}5)}{2} = -8{,}75.
Calcular f(-8{,}75):
x^{2}=76{,}5625,\qquad 2-x^{2}=-74{,}5625,\qquad f(-8{,}75)\approx 0{,}6687
(positivo). Então a_{2}=-9, b_{2}=-8{,}75.

Passo 7

Iteração 3:
m_{3}=\frac{-9 + (-8{,}75)}{2} = -8{,}875.
x^{2}=78{,}765625,\qquad 2-x^{2}=-76{,}765625,\qquad f(-8{,}875)\approx 0{,}2018
(positivo). Então a_{3}=-9, b_{3}=-8{,}875.

Passo 8

Iteração 4:
m_{4}=\frac{-9 + (-8{,}875)}{2} = -8{,}9375.
x^{2}=79{,}87890625\\ \text{(aprox.)},\qquad 2-x^{2}\approx -77{,}87890625,\qquad f(-8{,}9375)\approx -0{,}7905
(negativo). Agora f(m_{4}) tem mesmo sinal que f(a_{3}) (ambos negativos), então atualizo a_{4}= -8{,}9375, b_{4}=-8{,}875.

Passo 9

Iteração 5:
m_{5}=\frac{-8{,}9375 + (-8{,}875)}{2} = -8{,}90625.
x^{2}\approx 79{,}32128906,\qquad 2-x^{2}\approx -77{,}32128906,\qquad f(-8{,}90625)\approx -0{,}3434
(negativo). Atualizo a_{5}=-8{,}90625, b_{5}=-8{,}875.

Passo 10

Iteração 6:
m_{6}=\frac{-8{,}90625 + (-8{,}875)}{2} = -8{,}890625.
x^{2}\approx 79{,}04321289,\qquad 2-x^{2}\approx -77{,}04321289,\qquad f(-8{,}890625)\approx -0{,}0752
(negativo). Atualizo a_{6}=-8{,}890625, b_{6}=-8{,}875.

Passo 11

Iteração 7:
m_{7}=\frac{-8{,}890625 + (-8{,}875)}{2} = -8{,}8828125.
x^{2}\approx 78{,}90435791,\qquad 2-x^{2}\approx -76{,}90435791,\qquad f(-8{,}8828125)\approx 0{,}0647
(positivo). Agora sinal trocou: a_{7}=-8{,}890625 (negativo), b_{7}=-8{,}8828125 (positivo).

Passo 12

Iteração 8:
m_{8}=\frac{-8{,}890625 + (-8{,}8828125)}{2} = -8{,}88671875.
x^{2}\approx 78{,}97378540,\qquad 2-x^{2}\approx -76{,}97378540,\qquad f(-8{,}88671875)\approx -0{,}0048
(negativo). Atualizo a_{8}=-8{,}88671875, b_{8}=-8{,}8828125.
O comprimento do intervalo agora é
b_{8}-a_{8} = -8{,}8828125 - (-8{,}88671875) = 0{,}00390625.
Ainda maior que 0{,}001, então continuo.

Passo 13

Iteração 9:
m_{9}=\frac{-8{,}88671875 + (-8{,}8828125)}{2} = -8{,}884765625.
x^{2}\approx 78{,}93907073,\qquad 2-x^{2}\approx -76{,}93907073,\qquad f(-8{,}884765625)\approx 0{,}02994
(positivo). Atualizo a_{9}=-8{,}88671875, b_{9}=-8{,}884765625.

Passo 14

Iteração 10:
m_{10}=\frac{-8{,}88671875 + (-8{,}884765625)}{2} = -8{,}8857421875.
x^{2}\approx 78{,}95642807,\qquad 2-x^{2}\approx -76{,}95642807,\qquad f(-8{,}8857421875)\approx 0{,}012588
(positivo). Agora o intervalo é
b_{10}-a_{10} = -8{,}884765625 - (-8{,}88671875) = 0{,}001953125.
Ainda maior que 0{,}001, mas ao atualizar conforme o sinal (a permanece -8{,}88671875, b torna-se -8{,}8857421875), obtemos depois mais uma iteração que reduz o comprimento abaixo de 0{,}001. No entanto, podemos também aceitar uma condição ligeiramente mais restritiva: ao repetir uma iteração adicional temos o intervalo final com largura menor que 0{,}001.

Passo 15

Parada e aproximação final:
Após as iterações, o intervalo final com mudança de sinal (onde f tem sinais opostos) é aproximadamente
[a,b]=\bigl(-8{,}88671875,\\\ -8{,}8857421875\bigr),
cujo comprimento é
b-a=0{,}0009765625<0{,}001.
A aproximação da raiz pode ser tomada pelo ponto médio do intervalo final:
x^{*}=\frac{a+b}{2} = -8{,}88623046875.
Arredondando para a precisão pedida 0{,}001 (três casas decimais) temos x^{*}\approx -8{,}886.

Resposta

-8{,}886

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