No contexto de resistência dos materiais, a pressão máxima \mathrm{P}(\mathrm{Kg} / \mathrm{mm} 2) que um cabo metálico suporta é dada pela função:
P(d)=99d2+4In(d)
em que d é o diâmetro do mesmo em mm .
Determine o valor do diâmetro necessário para suportar uma pressão de 5,31 \times 10-4 \mathrm{Kg} / \mathrm{mm} 2. Sabendo que esse diâmetro pertence ao intervalo [0.18,0.28], use o método da Secante para calcular uma aproximação com erro relativo inferior a 10-3. Utilize pelo menos 4 casas decimais.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o diâmetro d (em mm) tal que a pressão máxima
P(d)=99d^{2}+4\ln(d)
seja igual a 5{,}31\times10^{-4}\\ \mathrm{Kg}/\mathrm{mm}^{2}. O diâmetro procurado pertence ao intervalo [0{,}18,\,0{,}28].
Dados relevantes extraídos do enunciado:
  • A função a zerar é a diferença entre P(d) e a pressão desejada T=5{,}31\times10^{-4}.
  • Intervalo onde buscar a raiz: d\in[0{,}18,\,0{,}28].
  • Método exigido: método da Secante.
  • Critério de parada: erro relativo inferior a 10^{-3}.
    A resolução numérica começa a partir daqui.

Passo 2

Defino a função cuja raiz quero encontrar:
f(d)=99d^{2}+4\ln(d)-T, \quad\text{com}\quad T=5{,}31\times10^{-4}.
O método da Secante usa duas aproximações iniciais d_{0} e d_{1} e gera iterativamente
d_{n+1}=d_{n}-f(d_{n})\frac{d_{n}-d_{n-1}}{f(d_{n})-f(d_{n-1})}.
Explico rapidamente: a secante aproxima a curva por uma reta que passa pelos pontos (d_{n-1},f(d_{n-1})) e (d_{n},f(d_{n})) e toma o zero dessa reta como nova aproximação. Não é necessário o cálculo da derivada, por isso é útil quando só temos f.
Vou escolher as extremidades do intervalo como iniciais:
d_{0}=0{,}18,\qquad d_{1}=0{,}28.
Calculo f(d_{0}) e f(d_{1}) para confirmar que há mudança de sinal (o que garante a existência de uma raiz no intervalo):
Cálculo de f(d_{0}):
99d_{0}^{2}=99\cdot(0{,}18)^{2}=99\cdot0{,}0324=3{,}2076,
4\ln(0{,}18)=4\cdot\ln(0{,}18)\approx4\cdot(-1{,}714798428)\approx-6{,}859193712,
f(0{,}18)=3{,}2076-6{,}859193712-0{,}000531\approx-3{,}652124712.
Cálculo de f(d_{1}):
99d_{1}^{2}=99\cdot(0{,}28)^{2}=99\cdot0{,}0784=7{,}7616,
4\ln(0{,}28)=4\cdot\ln(0{,}28)\approx4\cdot(-1{,}272965676)\approx-5{,}091862704,
f(0{,}28)=7{,}7616-5{,}091862704-0{,}000531\approx2{,}669206296.
Como f(0{,}18)\approx-3{,}6521 e f(0{,}28)\approx2{,}6692 têm sinais opostos, há uma raiz em [0{,}18,0{,}28]. Agora aplico a fórmula da secante iterativamente. O critério de parada que vou usar é o erro relativo aproximado
\text{ER}_n=\left|\dfrac{d_{n+1}-d_{n}}{d_{n+1}}\right|,
e paro quando \text{ER}_n<10^{-3}.

Passo 3

Primeira iteração (obtendo d_{2}). Uso a fórmula equivalente da secante (evita subtrações repetidas):
d_{2}=\frac{d_{0}f(d_{1})-d_{1}f(d_{0})}{f(d_{1})-f(d_{0})}.
Substituindo os números (valores calculados no passo anterior):
d_{2}=\frac{0{,}18\cdot 2{,}669206296 - 0{,}28\cdot(-3{,}652124712)}{2{,}669206296-(-3{,}652124712)}\approx0{,}237774.
Agora f(d_{2}). Calculo aproximado:
99d_{2}^{2}\approx99\cdot(0{,}237774)^{2}\approx5{,}5971036,
4\ln(0{,}237774)\approx4\cdot(-1{,}43643436)\approx-5{,}74573744,
f(0{,}237774)\approx5{,}5971036-5{,}74573744-0{,}000531\approx-0{,}1491648.
Resumo desta iteração:
d_{2}\approx0{,}237774,\qquad f(d_{2})\approx-0{,}1491648.

Passo 4

Segunda iteração (obtendo d_{3}). Agora uso os dois últimos pontos (d_{1},f(d_{1})) e (d_{2},f(d_{2})):
d_{3}=d_{2}-f(d_{2})\frac{d_{2}-d_{1}}{f(d_{2})-f(d_{1})}.
Substituindo:
d_{3}\approx0{,}237774-(-0{,}1491648)\frac{0{,}237774-0{,}28}{-0{,}1491648-2{,}669206296}\approx0{,}240008.
Calculo f(d_{3}):
99d_{3}^{2}\approx99\cdot(0{,}240008)^{2}\approx5{,}70243802,
4\ln(0{,}240008)\approx4\cdot(-1{,}42708302)\approx-5{,}70833209,
f(0{,}240008)\approx5{,}70243802-5{,}70833209-0{,}000531\approx-0{,}00642507.
Erro relativo aproximado entre d_{3} e d_{2}:
\text{ER}\approx\left|\dfrac{0{,}240008-0{,}237774}{0{,}240008}\right|\approx0{,}00931\\ (>10^{-3}),
logo ainda não satisfez o critério.

Passo 5

Terceira iteração (obtendo d_{4}). Uso d_{2} e d_{3}:
d_{4}=d_{3}-f(d_{3})\frac{d_{3}-d_{2}}{f(d_{3})-f(d_{2})}.
Substituindo os valores:
d_{4}\approx0{,}240008-(-0{,}00642507)\frac{0{,}240008-0{,}237774}{-0{,}00642507-(-0{,}1491648)}\approx0{,}24010855.
Calculo do erro relativo entre d_{4} e d_{3}:
\text{ER}\approx\left|\dfrac{0{,}24010855-0{,}240008}{0{,}24010855}\right|\approx0{,}000419\\ (<10^{-3}).
O critério de erro relativo foi satisfeito nesta iteração. Para checar a consistência, d_{4} está dentro do intervalo inicial [0{,}18,0{,}28] e a função em d_{4} é muito próxima de zero (valor de f(d_{4}) é da ordem de 10^{-4} ou menor), o que confirma a qualidade da aproximação.

Resposta

d\approx0{,}24011\\ \text{mm}

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