No contexto de resistência dos materiais, a pressão máxima \mathrm{P}(\mathrm{Kg} / \mathrm{mm} 2) que um cabo metálico suporta é dada pela função:
P(d)=99d2+4In(d)
em que d é o diâmetro do mesmo em mm .
Determine o valor do diâmetro necessário para suportar uma pressão de 5,31 \times 10-4 \mathrm{Kg} / \mathrm{mm} 2. Sabendo que esse diâmetro pertence ao intervalo [0.18,0.28], use o método da Secante para calcular uma aproximação com erro relativo inferior a 10-3. Utilize pelo menos 4 casas decimais.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar o diâmetro d (em mm) tal que a pressão máxima
P(d)=99d^{2}+4\ln(d)
seja igual a 5{,}31\times10^{-4}\\ \mathrm{Kg}/\mathrm{mm}^{2}. O diâmetro procurado pertence ao intervalo [0{,}18,\,0{,}28].
Dados relevantes extraídos do enunciado:
A função a zerar é a diferença entre P(d) e a pressão desejada T=5{,}31\times10^{-4}.
Intervalo onde buscar a raiz: d\in[0{,}18,\,0{,}28].
Método exigido: método da Secante.
Critério de parada: erro relativo inferior a 10^{-3}.
A resolução numérica começa a partir daqui.
Explico rapidamente: a secante aproxima a curva por uma reta que passa pelos pontos (d_{n-1},f(d_{n-1})) e (d_{n},f(d_{n})) e toma o zero dessa reta como nova aproximação. Não é necessário o cálculo da derivada, por isso é útil quando só temos f.
Vou escolher as extremidades do intervalo como iniciais:
d_{0}=0{,}18,\qquad d_{1}=0{,}28.
Calculo f(d_{0}) e f(d_{1}) para confirmar que há mudança de sinal (o que garante a existência de uma raiz no intervalo):
Como f(0{,}18)\approx-3{,}6521 e f(0{,}28)\approx2{,}6692 têm sinais opostos, há uma raiz em [0{,}18,0{,}28]. Agora aplico a fórmula da secante iterativamente. O critério de parada que vou usar é o erro relativo aproximado
O critério de erro relativo foi satisfeito nesta iteração. Para checar a consistência, d_{4} está dentro do intervalo inicial [0{,}18,0{,}28] e a função em d_{4} é muito próxima de zero (valor de f(d_{4}) é da ordem de 10^{-4} ou menor), o que confirma a qualidade da aproximação.