Gere valores entre
para a função:
, identifique um intervalo onde exista uma raiz e a encontre com precisão 0.001 . Obs.: utilize pelo menos 4 casas decimais em seus cálculos.
Passo 1
O enunciado pede três coisas:
- Gerar valores da função
no intervalo . - Identificar um intervalo onde exista uma raiz (ou seja, onde a função muda de sinal).
- Encontrar essa raiz com precisão
(usar pelo menos 4 casas decimais nos cálculos).
Informações dadas:
- Função:
. - Intervalo para gerar valores:
. - Critério para existência de raiz usado: Teorema do valor intermediário (se
e têm sinais opostos e é contínua, existe raiz em ). A função é polinomial, logo contínua.
Passo 2
Vou gerar valores amostrais em
com passo razoável (passo
) para ter uma visão rápida do sinal de
. Em cada cálculo mostro pelo menos 4 casas decimais.
- Para
: - Para
: - Para
: - Para
: - Para
: - Para
: - Para
:
Observação: os valores mostram que
e
, logo há uma mudança de sinal em
e, por continuidade, existe pelo menos uma raiz nesse intervalo.
Passo 3
Estratégia para achar a raiz com precisão
: usar o método da bisseção, que é simples, robusto e garante convergência para funções contínuas quando há troca de sinal.
Breve aula prática do método da bisseção (passo a passo):
Breve aula prática do método da bisseção (passo a passo):
- Começa-se com um intervalo
tal que . - Calcula-se o ponto médio
e . - Se
acabou; se não, escolhe-se o subintervalo ou que contenha a troca de sinal (onde o produto das extremidades é negativo). - Repetir até que o comprimento do intervalo seja menor que a precisão requerida. Ao final, qualquer ponto dentro do intervalo final está dentro do erro garantido.
Vou aplicar bisseção em
e documentar as iterações com valores de
e
com pelo menos 4 casas decimais.
Passo 4
Iteração 1:
-
. -
. -
(já calculado). - Sinais:
, (mesmo sinal), . - Escolher intervalo com troca de sinal:
.
Passo 5
Iteração 2:
-
. -
. - Calcular
:
- Sinais:
e → novo intervalo .
Passo 6
Iteração 3:
-
. -
. - Calcular
:
- Sinais:
→ novo intervalo .
Passo 7
Iteração 4:
-
. -
. - Calcular
:
- Sinal negativo → novo intervalo
.
Passo 8
Iteração 5:
-
. -
. - Calcular
:
- Agora
, então a troca de sinal está em .
Passo 9
Iteração 6:
-
. -
. - Calcular
:
-
→ novo intervalo .
Passo 10
Iteração 7:
-
. -
. - Calcular
:
-
→ novo intervalo .
Passo 11
Iteração 8:
-
. -
. - Calcular
:
-
→ novo intervalo .
Passo 12
Iteração 9:
-
. -
. - Calcular
:
-
→ novo intervalo .
Passo 13
Iteração 10:
-
. -
. - Calcular
com frações exatas para manter 4+ casas decimais:
-
, então troca de sinal está em .
Passo 14
Checagem da precisão:
- O novo intervalo é
. - Comprimento do intervalo:
, que é menor que . - Pelo método da bisseção, sabemos que existe pelo menos uma raiz nesse intervalo e que qualquer ponto do intervalo está a no máximo
da raiz verdadeira — portanto a raiz é conhecida com precisão melhor que .
Escolho como aproximação final o ponto médio do intervalo final:
Arredondando para 3 casas decimais (precisão solicitada
):
Resposta
Valores amostrados (em
, passo
):
Intervalo onde existe uma raiz:
Raiz com precisão :
Intervalo onde existe uma raiz:
Raiz com precisão