Gere valores entre [0,3] para a função: \mathrm{y}=\mathrm{x} . \wedge 4-3^{*} \mathrm{x} . \wedge 2-3, identifique um intervalo onde exista uma raiz e a encontre com precisão 0.001 . Obs.: utilize pelo menos 4 casas decimais em seus cálculos.

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  • Gerar valores da função \,y=x^{4}-3x^{2}-3\, no intervalo [0,3].
  • Identificar um intervalo onde exista uma raiz (ou seja, onde a função muda de sinal).
  • Encontrar essa raiz com precisão 0{,}001 (usar pelo menos 4 casas decimais nos cálculos).
Informações dadas:
  • Função: \,f(x)=x^{4}-3x^{2}-3\,.
  • Intervalo para gerar valores: [0,3].
  • Critério para existência de raiz usado: Teorema do valor intermediário (se f(a) e f(b) têm sinais opostos e f é contínua, existe raiz em [a,b]). A função é polinomial, logo contínua.

Passo 2

Vou gerar valores amostrais em [0,3] com passo razoável (passo 0{,}5) para ter uma visão rápida do sinal de f. Em cada cálculo mostro pelo menos 4 casas decimais.
  • Para x=0: f(0)=0^{4}-3\cdot0^{2}-3=-3{,}0000.
  • Para x=0{,}5: x^{2}=0{,}25,\quad x^{4}=0{,}0625,\quad f(0{,}5)=0{,}0625-3\cdot0{,}25-3= -3{,}6875.
  • Para x=1{,}0: x^{2}=1{,}0000,\quad x^{4}=1{,}0000,\quad f(1)=1-3-3=-5{,}0000.
  • Para x=1{,}5: x^{2}=2{,}2500,\quad x^{4}=5{,}0625,\quad f(1{,}5)=5{,}0625-3\cdot2{,}25-3=-4{,}6875.
  • Para x=2{,}0: x^{2}=4{,}0000,\quad x^{4}=16{,}0000,\quad f(2)=16-12-3=1{,}0000.
  • Para x=2{,}5: x^{2}=6{,}25,\quad x^{4}=39{,}0625,\quad f(2{,}5)=39{,}0625-3\cdot6{,}25-3=17{,}3125.
  • Para x=3{,}0: x^{2}=9{,}0000,\quad x^{4}=81{,}0000,\quad f(3)=81-27-3=51{,}0000.
Observação: os valores mostram que f(1)=-5{,}0000 e f(2)=1{,}0000, logo há uma mudança de sinal em [1,2] e, por continuidade, existe pelo menos uma raiz nesse intervalo.

Passo 3

Estratégia para achar a raiz com precisão 0{,}001: usar o método da bisseção, que é simples, robusto e garante convergência para funções contínuas quando há troca de sinal.
Breve aula prática do método da bisseção (passo a passo):
  • Começa-se com um intervalo [a,b] tal que f(a)\cdot f(b)<0.
  • Calcula-se o ponto médio m=(a+b)/2 e f(m).
  • Se f(m)=0 acabou; se não, escolhe-se o subintervalo [a,m] ou [m,b] que contenha a troca de sinal (onde o produto das extremidades é negativo).
  • Repetir até que o comprimento do intervalo seja menor que a precisão requerida. Ao final, qualquer ponto dentro do intervalo final está dentro do erro garantido.
Vou aplicar bisseção em [1,2] e documentar as iterações com valores de x e f(x) com pelo menos 4 casas decimais.

Passo 4

Iteração 1:
  • a=1{,}0000,\; b=2{,}0000.
  • m_{1}=\dfrac{1{,}0000+2{,}0000}{2}=1{,}5000.
  • f(1{,}5000)= -4{,}6875 (já calculado).
  • Sinais: f(a)=-5{,}0000, f(m_{1})=-4{,}6875 (mesmo sinal), f(b)=1{,}0000.
  • Escolher intervalo com troca de sinal: [1{,}5000,2{,}0000].

Passo 5

Iteração 2:
  • a=1{,}5000,\; b=2{,}0000.
  • m_{2}=1{,}7500.
  • Calcular f(1{,}7500): 1{,}7500^{2}=3{,}0625,\quad 1{,}7500^{4}=9{,}37890625,
f(1{,}7500)=9{,}37890625-3\cdot3{,}0625-3= -2{,}80859375.
  • Sinais: f(m_{2})<0 e f(b)>0 → novo intervalo [1{,}7500,2{,}0000].

Passo 6

Iteração 3:
  • a=1{,}7500,\; b=2{,}0000.
  • m_{3}=1{,}8750.
  • Calcular f(1{,}8750): 1{,}8750^{2}=3{,}515625,\quad 1{,}8750^{4}=12{,}359619140625,
f(1{,}8750)=12{,}359619140625-3\cdot3{,}515625-3=-1{,}187255859375.
  • Sinais: f(m_{3})<0 → novo intervalo [1{,}8750,2{,}0000].

Passo 7

Iteração 4:
  • a=1{,}8750,\; b=2{,}0000.
  • m_{4}=1{,}9375.
  • Calcular f(1{,}9375): 1{,}9375^{2}=3{,}75390625,\quad 1{,}9375^{4}=14{,}091796875,
f(1{,}9375)=14{,}091796875-3\cdot3{,}75390625-3=-0{,}169921875.
  • Sinal negativo → novo intervalo [1{,}9375,2{,}0000].

Passo 8

Iteração 5:
  • a=1{,}9375,\; b=2{,}0000.
  • m_{5}=1{,}96875.
  • Calcular f(1{,}96875): 1{,}96875^{2}=3{,}8759765625,\quad 1{,}96875^{4}=15{,}023193359375,
f(1{,}96875)=15{,}023193359375-3\cdot3{,}8759765625-3=0{,}395263671875.
  • Agora f(m_{5})>0, então a troca de sinal está em [1{,}9375,1{,}96875].

Passo 9

Iteração 6:
  • a=1{,}9375,\; b=1{,}96875.
  • m_{6}=1{,}953125.
  • Calcular f(1{,}953125): 1{,}953125^{2}=3{,}814697265625,\quad 1{,}953125^{4}=14{,}551177978515625,
f(1{,}953125)=14{,}551177978515625-3\cdot3{,}814697265625-3=0{,}107086181640625.
  • f(m_{6})>0 → novo intervalo [1{,}9375,1{,}953125].

Passo 10

Iteração 7:
  • a=1{,}9375,\; b=1{,}953125.
  • m_{7}=1{,}9453125.
  • Calcular f(1{,}9453125): 1{,}9453125^{2}=3{,}78424072265625,\quad 1{,}9453125^{4}\approx14{,}320473670959473,
f(1{,}9453125)\approx14{,}320473670959473-3\cdot3{,}78424072265625-3\approx -0{,}032248497009277344.
  • f(m_{7})<0 → novo intervalo [1{,}9453125,1{,}953125].

Passo 11

Iteração 8:
  • a=1{,}9453125,\; b=1{,}953125.
  • m_{8}=1{,}94921875.
  • Calcular f(1{,}94921875): 1{,}94921875^{2}=3{,}7994537353515625,\quad 1{,}94921875^{4}\approx14{,}435787200927734,
f(1{,}94921875)\approx14{,}435787200927734-3\cdot3{,}7994537353515625-3\approx0{,}037425994873046875.
  • f(m_{8})>0 → novo intervalo [1{,}9453125,1{,}94921875].

Passo 12

Iteração 9:
  • a=1{,}9453125,\; b=1{,}94921875.
  • m_{9}=1{,}947265625.
  • Calcular f(1{,}947265625): 1{,}947265625^{2}=3{,}791843414306640625,\quad 1{,}947265625^{4}\approx14{,}378188133070,
f(1{,}947265625)\approx14{,}378188133070-3\cdot3{,}791843414306640625-3\approx0{,}0026578900800790787.
  • f(m_{9})>0 → novo intervalo [1{,}9453125,1{,}947265625].

Passo 13

Iteração 10:
  • a=1{,}9453125,\; b=1{,}947265625.
  • m_{10}=1{,}9462890625.
  • Calcular f(1{,}9462890625) com frações exatas para manter 4+ casas decimais: 1{,}9462890625=\dfrac{1993}{1024},\quad \left(\dfrac{1993}{1024}\right)^{2}=\dfrac{3\,972\,049}{1\,048\,576}=3{,}78804111480712890625,
\left(\dfrac{1993}{1024}\right)^{4}=\dfrac{15\,777\,173\,258\,401}{1\,099\,511\,627\,776}\approx14{,}349256396484375.
f(1{,}9462890625)\approx14{,}349256396484375-3\cdot3{,}78804111480712890625-3\approx -0{,}014866948421387.
  • f(m_{10})<0, então troca de sinal está em [1{,}9462890625,1{,}947265625].

Passo 14

Checagem da precisão:
  • O novo intervalo é [1{,}9462890625,\,1{,}947265625].
  • Comprimento do intervalo: 1{,}947265625-1{,}9462890625=0{,}0009765625, que é menor que 0{,}001.
  • Pelo método da bisseção, sabemos que existe pelo menos uma raiz nesse intervalo e que qualquer ponto do intervalo está a no máximo 0{,}0009765625 da raiz verdadeira — portanto a raiz é conhecida com precisão melhor que 0{,}001.
Escolho como aproximação final o ponto médio do intervalo final:
x^{*}=\dfrac{1{,}9462890625+1{,}947265625}{2}=1{,}94677734375.
Arredondando para 3 casas decimais (precisão solicitada 0{,}001):
x^{*}\approx1{,}947.

Resposta

Valores amostrados (em [0,3], passo 0{,}5): (0,\,-3{,}0000),\\ (0{,}5,\,-3{,}6875),\\ (1,\,-5{,}0000),\\ (1{,}5,\,-4{,}6875),\\ (2,\\\ 1{,}0000),\\ (2{,}5,\\\ 17{,}3125),\\ (3,\\\ 51{,}0000)
Intervalo onde existe uma raiz: [1{,}9462890625,\\\ 1{,}947265625]
Raiz com precisão 0{,}001: x\approx1{,}947

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