No contexto do Teorema de Thales de Miletus, defina seno, cosseno e tangente de um ângulo.

Passo 1

O enunciado pede que, “no contexto do Teorema de Thales de Miletus”, sejam definidas as funções seno, cosseno e tangente de um ângulo.
Informações relevantes fornecidas/impostas pelo enunciado:
  • O contexto é o do Teorema de Thales (uso de semelhança/proporcionalidade entre triângulos).
  • O objetivo é dar definições claras e bem justificadas de \sin, \cos e \tan para um ângulo (assumiremos um ângulo agudo num triângulo retângulo, que é o caso clássico).

Passo 2

Primeiro precisamos lembrar (e explicar) por que faz sentido definir razões de lados como propriedades do ângulo e não do triângulo inteiro. Considere dois triângulos retângulos quaisquer que tenham um mesmo ângulo agudo \theta. Vou descrever isso:
  • Em cada triângulo há um ângulo reto ( 90^\circ) e um ângulo \theta.
  • Como os triângulos têm dois ângulos correspondentes iguais ( 90^\circ e \theta), os triângulos são semelhantes por critério AA (ângulo-ângulo).
  • A semelhança implica que os comprimentos dos lados correspondentes são proporcionais: se num triângulo os lados são a,b,c e no outro são ka,kb,kc (com k>0), então as razões a/c, b/c, a/b são iguais nos dois triângulos.
Esse fato (triângulos retângulos com o mesmo ângulo agudo sendo semelhantes) é a conexão com o Teorema de Thales/semelhança: garante que razões entre lados dependem só do ângulo \theta, não do tamanho do triângulo.

Passo 3

Agora fazemos as definições com base nas razões entre os lados de um triângulo retângulo. Primeiro definimos nomenclatura dos lados em relação ao ângulo \theta:
  • A hipotenusa é o lado oposto ao ângulo reto; é sempre o maior lado. Vou escrever isso como \text{hipotenusa}.
  • O cateto oposto a \theta é o lado que não toca o ângulo \theta; escrevo \text{cateto oposto}.
  • O cateto adjacente a \theta é o cateto (não-hipotenusa) que toca \theta; escrevo \text{cateto adjacente}.
Com essas palavras, definimos as razões trigonométricas básicas (essas definições valem para qualquer triângulo retângulo que tenha o ângulo \theta; por semelhança as razões são as mesmas):
\sin\theta = \frac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}}.
\cos\theta = \frac{\text{cateto adjacente}}{\text{hipotenusa}}.
\tan\theta = \frac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}}.
Explicação didática: cada uma dessas frações é um número (uma razão). Pelo que mostrei no Passo 2 (semelhança), esse número depende só do ângulo \theta. Logo faz sentido falar em "o seno do ângulo \theta" como uma função do ângulo.

Passo 4

Inter-relação e consequência prática (útil na prova): da definição segue imediatamente que
\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta},
porque ao dividir \dfrac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}} por \dfrac{\text{hipotenusa}}{\text{hipotenusa}} (ou simplesmente simplificar as definições) obtemos essa relação.
Também existem funções recíprocas definidas por:
\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta} = \frac{\text{hipotenusa}}{\text{cateto oposto}}, \quad \operatorname{sec}\theta = \frac{1}{\cos\theta} = \frac{\text{hipotenusa}}{\text{cateto adjacente}}, \quad \cot\theta = \frac{1}{\tan\theta} = \frac{\text{cateto adjacente}}{\text{cateto oposto}}.

Passo 5

Exemplos concretos (para fixar o método e praticar cálculo sem calculadora):
  • Triângulo 3\!-\!4\!-\!5 (retângulo, hipotenusa 5). Se o cateto oposto a \theta for 3 e o adjacente for 4, então \sin\theta = \frac{3}{5},\qquad \cos\theta = \frac{4}{5},\qquad \tan\theta = \frac{3}{4}.Observação: qualquer triângulo semelhante (por exemplo lados 6,8,10) terá as mesmas razões; é aí que entra Thales/semelhança.
  • Triângulo especial 30^\circ\!-\!60^\circ\!-\!90^\circ: as razões são \sin 30^\circ = \frac{1}{2},\qquad \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2},\qquad \tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}.
  • Triângulo 45^\circ\!-\!45^\circ\!-\!90^\circ: as razões são \sin 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}},\qquad \cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}},\qquad \tan 45^\circ = 1.
Esses exemplos mostram como, dadas as razões entre lados (ou um triângulo com medidas inteiras), se obtém rapidamente \sin, \cos e \tan na prova.

Passo 6

Como identificar rapidamente os lados na hora da prova:
  • Marque o ângulo \theta.
  • Encontre a hipotenusa (lado oposto ao ângulo reto).
  • O cateto que toca \theta e não é a hipotenusa é o cateto adjacente.
  • O outro cateto é o cateto oposto.
    Um mnemônico clássico e útil: “SOH-CAH-TOA” que significa
  • \text{SOH}:\\ \sin = \dfrac{\text{oposto}}{\text{hipotenusa}},
  • \text{CAH}:\\ \cos = \dfrac{\text{adjacente}}{\text{hipotenusa}},
  • \text{TOA}:\\ \tan = \dfrac{\text{oposto}}{\text{adjacente}}.

Passo 7

Observações finais e incentivos:
  • O ponto central é: o Teorema de Thales / semelhança garante que essas razões são bem-definidas para um ângulo (independentes do tamanho do triângulo). Isso é o motivo teórico por trás das definições.
  • Na prova, desenhe um triângulo retângulo, identifique os lados em relação a \theta e aplique as definições. Se precisar calcular valores exatos, use triângulos notáveis ( 30^\circ,45^\circ,60^\circ ) ou triângulos inteiros como 3\!-\!4\!-\!5.
  • Vai dar certo — pratique alguns exemplos e repita o mnemônico; isso fica natural rapidinho!

Resposta

\displaystyle \sin\theta=\frac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}}
\displaystyle \cos\theta=\frac{\text{cateto adjacente}}{\text{hipotenusa}}
\displaystyle \tan\theta=\frac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}}

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