No contexto do Teorema de Thales de Miletus, defina seno, cosseno e tangente de um ângulo.
Passo 1
O enunciado pede que, “no contexto do Teorema de Thales de Miletus”, sejam definidas as funções seno, cosseno e tangente de um ângulo.
Informações relevantes fornecidas/impostas pelo enunciado:
Informações relevantes fornecidas/impostas pelo enunciado:
- O contexto é o do Teorema de Thales (uso de semelhança/proporcionalidade entre triângulos).
- O objetivo é dar definições claras e bem justificadas de
, e para um ângulo (assumiremos um ângulo agudo num triângulo retângulo, que é o caso clássico).
Passo 2
Primeiro precisamos lembrar (e explicar) por que faz sentido definir razões de lados como propriedades do ângulo e não do triângulo inteiro. Considere dois triângulos retângulos quaisquer que tenham um mesmo ângulo agudo
. Vou descrever isso:
- Em cada triângulo há um ângulo reto (
) e um ângulo . - Como os triângulos têm dois ângulos correspondentes iguais (
e ), os triângulos são semelhantes por critério AA (ângulo-ângulo). - A semelhança implica que os comprimentos dos lados correspondentes são proporcionais: se num triângulo os lados são
e no outro são (com ), então as razões , , são iguais nos dois triângulos.
Esse fato (triângulos retângulos com o mesmo ângulo agudo sendo semelhantes) é a conexão com o Teorema de Thales/semelhança: garante que razões entre lados dependem só do ângulo
, não do tamanho do triângulo.
Passo 3
Agora fazemos as definições com base nas razões entre os lados de um triângulo retângulo. Primeiro definimos nomenclatura dos lados em relação ao ângulo
:
- A hipotenusa é o lado oposto ao ângulo reto; é sempre o maior lado. Vou escrever isso como
. - O cateto oposto a
é o lado que não toca o ângulo ; escrevo . - O cateto adjacente a
é o cateto (não-hipotenusa) que toca ; escrevo .
Com essas palavras, definimos as razões trigonométricas básicas (essas definições valem para qualquer triângulo retângulo que tenha o ângulo
; por semelhança as razões são as mesmas):
Explicação didática: cada uma dessas frações é um número (uma razão). Pelo que mostrei no Passo 2 (semelhança), esse número depende só do ângulo
. Logo faz sentido falar em "o seno do ângulo
" como uma função do ângulo.
Passo 4
Inter-relação e consequência prática (útil na prova): da definição segue imediatamente que
porque ao dividir
por
(ou simplesmente simplificar as definições) obtemos essa relação.
Também existem funções recíprocas definidas por:
Passo 5
Exemplos concretos (para fixar o método e praticar cálculo sem calculadora):
- Triângulo
(retângulo, hipotenusa ). Se o cateto oposto a for e o adjacente for , então Observação: qualquer triângulo semelhante (por exemplo lados ) terá as mesmas razões; é aí que entra Thales/semelhança. - Triângulo especial
: as razões são - Triângulo
: as razões são
Esses exemplos mostram como, dadas as razões entre lados (ou um triângulo com medidas inteiras), se obtém rapidamente
,
e
na prova.
Passo 6
Como identificar rapidamente os lados na hora da prova:
- Marque o ângulo
. - Encontre a hipotenusa (lado oposto ao ângulo reto).
- O cateto que toca
e não é a hipotenusa é o cateto adjacente. - O outro cateto é o cateto oposto.
Um mnemônico clássico e útil: “SOH-CAH-TOA” que significa -
, -
, -
.
Passo 7
Observações finais e incentivos:
- O ponto central é: o Teorema de Thales / semelhança garante que essas razões são bem-definidas para um ângulo (independentes do tamanho do triângulo). Isso é o motivo teórico por trás das definições.
- Na prova, desenhe um triângulo retângulo, identifique os lados em relação a
e aplique as definições. Se precisar calcular valores exatos, use triângulos notáveis ( ) ou triângulos inteiros como . - Vai dar certo — pratique alguns exemplos e repita o mnemônico; isso fica natural rapidinho!