Calcule a derivada da função
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular a derivada
.
Observações e interpretação importantes (pegue isto como “o que temos”):
- A exponenciação é tomada como associativa à direita, isto é, a função é
. - Para podermos usar logaritmo natural e manipular
sem problemas, vamos trabalhar na região onde . (Para há problemas com e com potências tipo , então esta fórmula vale para .) - Objetivo: encontrar
em termos de .
Passo 2
Plano de ataque (por que escolhi esse caminho): aplicar diferenciação logarítmica. Explicação rápida e amigável: quando a variável aparece tanto na base quanto no expoente (tipo
), tomar logaritmo transforma a potência em produto, o que facilita usar regra do produto e derivar. Então vamos definir
, tomar
dos dois lados e diferenciar implicitamente.
Passo 3
Definindo
e aplicando
:
Tomando logaritmo natural dos dois lados e usando
,
Aqui usei a propriedade do logaritmo para trazer o expoente
como fator multiplicativo.
Passo 4
Agora diferenciamos ambos os lados em relação a
. Lembrete das regras usadas:
- Derivada de
em relação a é (regra da diferenciação implícita). - Do lado direito temos um produto
com e ; usaremos a regra do produto: .
Portanto,
E
.
Passo 5
Falta calcular
. Para isso usamos novamente log-diferenciação ou escrevemos
e aplicamos a regra da cadeia. Seja
, então
e
Agora calcule
:
Logo
Passo 6
Volta à equação da derivada (substituindo
):
Fatorando
:
Passo 7
Isolando
(lembrando que
):
Podemos simplificar o produto
usando
, obtendo a forma mais compacta
Passo 8
Comentário final rápido: a expressão acima é válida para
. Se for preciso, a parte entre colchetes pode ser expandida: