Calcule a derivada da função
f(x)=x^{x^{x}}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x^{x^{x}}
e pede para calcular a derivada f'(x).
Observações e interpretação importantes (pegue isto como “o que temos”):
  • A exponenciação é tomada como associativa à direita, isto é, a função é f(x)=x^{\left(x^{x}\right)}.
  • Para podermos usar logaritmo natural e manipular \ln x sem problemas, vamos trabalhar na região onde x>0. (Para x\le0 há problemas com \ln x e com potências tipo 0^0, então esta fórmula vale para x>0.)
  • Objetivo: encontrar f'(x) em termos de x.

Passo 2

Plano de ataque (por que escolhi esse caminho): aplicar diferenciação logarítmica. Explicação rápida e amigável: quando a variável aparece tanto na base quanto no expoente (tipo x^{x^x}), tomar logaritmo transforma a potência em produto, o que facilita usar regra do produto e derivar. Então vamos definir y=f(x), tomar \ln dos dois lados e diferenciar implicitamente.

Passo 3

Definindo y e aplicando \ln:
y = x^{\left(x^{x}\right)}.
Tomando logaritmo natural dos dois lados e usando \ln(a^{b})=b\ln a,
\ln y = x^{x}\,\ln x.
Aqui usei a propriedade do logaritmo para trazer o expoente x^{x} como fator multiplicativo.

Passo 4

Agora diferenciamos ambos os lados em relação a x. Lembrete das regras usadas:
  • Derivada de \ln y em relação a x é \dfrac{1}{y}\,y' (regra da diferenciação implícita).
  • Do lado direito temos um produto A(x)B(x) com A(x)=x^{x} e B(x)=\ln x; usaremos a regra do produto: (AB)'=A'B+AB'.
    Portanto,
\frac{1}{y}\,y' = \bigl(x^{x}\bigr)'\,\ln x + x^{x}\,\frac{d}{dx}(\ln x).
E \dfrac{d}{dx}(\ln x)=\dfrac{1}{x}.

Passo 5

Falta calcular \bigl(x^{x}\bigr)'. Para isso usamos novamente log-diferenciação ou escrevemos x^{x}=e^{x\ln x} e aplicamos a regra da cadeia. Seja u(x)=x\ln x, então x^{x}=e^{u(x)} e
\bigl(x^{x}\bigr)' = e^{u(x)}\,u'(x) = x^{x}\,u'(x).
Agora calcule u'(x):
u(x)=x\ln x \quad\Rightarrow\quad u'(x)=\ln x + x\cdot\frac{1}{x}=\ln x + 1.
Logo
\bigl(x^{x}\bigr)' = x^{x}\,(\ln x + 1).

Passo 6

Volta à equação da derivada (substituindo \bigl(x^{x}\bigr)'):
\frac{1}{y}\,y' = x^{x}(\ln x + 1)\,\ln x + x^{x}\cdot\frac{1}{x}.
Fatorando x^{x}:
\frac{1}{y}\,y' = x^{x}\left[(\ln x + 1)\ln x + \frac{1}{x}\right].

Passo 7

Isolando y' (lembrando que y=x^{x^{x}}):
y' = y\;x^{x}\left[(\ln x + 1)\ln x + \frac{1}{x}\right]
\Rightarrow \quad y' = x^{x^{x}}\;x^{x}\left[(\ln x + 1)\ln x + \frac{1}{x}\right].
Podemos simplificar o produto x^{x^{x}}\cdot x^{x} usando x^{a}\cdot x^{b}=x^{a+b}, obtendo a forma mais compacta
y' = x^{\,x^{x}+x}\left[(\ln x + 1)\ln x + \frac{1}{x}\right].

Passo 8

Comentário final rápido: a expressão acima é válida para x>0. Se for preciso, a parte entre colchetes pode ser expandida:
(\ln x + 1)\ln x + \frac{1}{x} = (\ln x)^{2} + \ln x + \frac{1}{x}.

Resposta

f'(x)=x^{\,x^{x}+x}\left[(\ln x + 1)\ln x + \frac{1}{x}\right]

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