Escreva uma função periódica não-constante, de período mínimo de repetição igual a
, satisfazendo:
e
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais informações estão dadas.
- O enunciado pede que se escreva uma função periódica não-constante cujo período mínimo de repetição seja
. - A função deve satisfazer as duas condições:
- Não há outras restrições (por exemplo, suavidade, continuidade, etc.), então podemos escolher uma família simples de funções periódicas de período
e ajustar parâmetros para atender às duas condições.
Passo 2
Escolher uma família simples de funções periódicas com período
e parâmetros ajustáveis.
- Uma escolha natural e simples é considerar combinações lineares de
e mais uma constante, porque e têm período e são fáceis de manipular. - Então proponho a família
onde , e são constantes a determinar. - Aqui
e controlam a parte oscilatória (não-constante) e é um deslocamento vertical (constante). A combinação acima é sempre -periódica porque tanto quanto satisfazem
Passo 3
Impor as condições dadas para obter equações lineares em [A,B,C).
- Avaliando em
usando a forma escolhida: A condição dá a equação - Avaliando em
: A condição dá a equação - Portanto temos o sistema linear simples
Esse sistema tem infinitas soluções (uma família de soluções parametrizada por qualquer real.]
Passo 4
Escolher uma solução simples e garantir que a função não seja constante.
- Para ficar prático, podemos escolher
(escolha simples e válida). Substituindo na parametrização: - Verificar que com esses valores a parte oscilatória não é trivial:
não é o par , logo a função é não-constante (há termos em e ).
Passo 5
Verificar que a função com os coeficientes escolhidos satisfaz as condições dadas (usando a forma geral antes de escrever a resposta final).
- Usando a forma
com , , :
Portanto as duas condições são satisfeitas.
Passo 6
Mostrar que o período mínimo é
para a função escolhida.
- A função é combinação de
e com a mesma frequência , então é -periódica (isto é, para todo ). - Para checar que o período mínimo (o menor período positivo) é exatamente
e não um divisor menor como , calcule na forma geral: Para que para todo seria preciso para todo , isto é, Isso só ocorre se e . Como aqui e (não ambos zero), não existe período — logo o menor período positivo é realmente .