Escreva uma função periódica não-constante, de período mínimo de repetição igual a 2 \pi, satisfazendo:
f(0)=1 e f\left(\frac{\pi}{2}\right)=2

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais informações estão dadas.
  • O enunciado pede que se escreva uma função periódica não-constante cujo período mínimo de repetição seja 2\pi.
  • A função deve satisfazer as duas condições: f(0)=1
f\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=2.
  • Não há outras restrições (por exemplo, suavidade, continuidade, etc.), então podemos escolher uma família simples de funções periódicas de período 2\pi e ajustar parâmetros para atender às duas condições.

Passo 2

Escolher uma família simples de funções periódicas com período 2\pi e parâmetros ajustáveis.
  • Uma escolha natural e simples é considerar combinações lineares de \cos x e \sin x mais uma constante, porque \cos x e \sin x têm período 2\pi e são fáceis de manipular.
  • Então proponho a família f(x)=A\cos x + B\sin x + C,onde A, B e C são constantes a determinar.
  • Aqui A e B controlam a parte oscilatória (não-constante) e C é um deslocamento vertical (constante). A combinação acima é sempre 2\pi-periódica porque tanto \cos x quanto \sin x satisfazem \cos(x+2\pi)=\cos x,\qquad \sin(x+2\pi)=\sin x.

Passo 3

Impor as condições dadas para obter equações lineares em [A,B,C).
  • Avaliando em x=0 usando a forma escolhida: f(0)=A\cos 0 + B\sin 0 + C = A + 0 + C = A + C.A condição f(0)=1 dá a equação A + C = 1.
  • Avaliando em x=\tfrac{\pi}{2}: f\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=A\cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)+B\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)+C = 0 + B + C = B + C.A condição f\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=2 dá a equação B + C = 2.
  • Portanto temos o sistema linear simples \begin{cases} A + C = 1,\\[4pt] B + C = 2. \end{cases}Esse sistema tem infinitas soluções (uma família de soluções parametrizada por C\]): \[A = 1 - C,\qquad B = 2 - C,\] com \(C qualquer real.]

Passo 4

Escolher uma solução simples e garantir que a função não seja constante.
  • Para ficar prático, podemos escolher C=0 (escolha simples e válida). Substituindo na parametrização: A = 1 - 0 = 1,\qquad B = 2 - 0 = 2,\qquad C=0.
  • Verificar que com esses valores a parte oscilatória não é trivial: (A,B)=(1,2) não é o par (0,0), logo a função é não-constante (há termos em \cos x e \sin x).

Passo 5

Verificar que a função com os coeficientes escolhidos satisfaz as condições dadas (usando a forma geral antes de escrever a resposta final).
  • Usando a forma f(x)=A\cos x + B\sin x + C com A=1, B=2, C=0: f(0)=1\cdot\cos 0 + 2\cdot\sin 0 + 0 = 1 + 0 = 1,
f\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=1\cdot\cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)+2\cdot\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)+0 = 0 + 2\cdot 1 = 2.
Portanto as duas condições são satisfeitas.

Passo 6

Mostrar que o período mínimo é 2\pi para a função escolhida.
  • A função é combinação de \cos x e \sin x com a mesma frequência 1, então é 2\pi-periódica (isto é, f(x+2\pi)=f(x) para todo x).
  • Para checar que o período mínimo (o menor período positivo) é exatamente 2\pi e não um divisor menor como \pi, calcule f(x+\pi) na forma geral: f(x+\pi)=A\cos(x+\pi)+B\sin(x+\pi)+C=-A\cos x - B\sin x + C.Para que f(x+\pi)=f(x) para todo x seria preciso -A\cos x - B\sin x + C = A\cos x + B\sin x + Cpara todo x, isto é, 2A\cos x + 2B\sin x = 0\quad\text{para todo }x.Isso só ocorre se A=0 e B=0. Como aqui A=1 e B=2 (não ambos zero), não existe período \pi — logo o menor período positivo é realmente 2\pi.

Resposta

\displaystyle f(x)=\cos x+2\sin x

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