Defina ângulo. Em Graus e Radianos.

Passo 1

O que o enunciado pede: definir o que é um ângulo e dar as definições de sua medida em graus e em radianos. Não há dados numéricos adicionais; o pedido é conceitual e pede também a relação entre as duas unidades.

Passo 2

Definição geométrica básica do ângulo (parte pedagógica e intuitiva).
Um ângulo é a figura formada por duas semirretas que partem de um mesmo ponto chamado vértice. Essas duas semirretas são os “lados” do ângulo e a região entre elas representa a abertura ou rotação que separa uma semirreta da outra. Em palavras: medir um ângulo é medir o quanto uma semirreta foi girada, em relação à outra, ao redor do vértice.

Passo 3

O que significa medir um ângulo — ideia geral.
Medir um ângulo é atribuir um número que indique essa abertura/rotação. Existem várias unidades para fazer isso; as duas mais usadas são o grau e o radiano. Cada unidade dá uma forma diferente (mas equivalente) de quantificar a mesma rotação.

Passo 4

Definição em graus.
A medida em graus divide a volta completa em 360^\circ. Assim:
  • Uma volta completa (um giro de 360^\circ) é a rotação que leva uma semirreta de volta à posição inicial.
  • Um grau é definido como \dfrac{1}{360} de uma volta.
    Ou seja, 1^\circ=\dfrac{1}{360} de uma volta, 90^\circ é um quarto de volta, 180^\circ meia volta, etc.

Passo 5

Definição em radianos (a definição mais “natural”).
O radiano é definido a partir da circunferência e do comprimento de arco. Seja um círculo de raio r. Se um ângulo subtende um arco de comprimento s nesse círculo, a medida em radianos desse ângulo é
\theta=\frac{s}{r}.
Explicando: o radiano mede a abertura pelo comprimento do arco que o ângulo “varre” sobre uma circunferência de raio r. Como s e r têm a mesma unidade, \theta é adimensional (apenas um número). Um radiano é, portanto, o ângulo que subtende um arco cujo comprimento é igual ao raio.

Passo 6

Relação entre volta completa e as duas unidades — obtenção da fórmula de conversão.
Uma volta completa tem comprimento de arco s=2\pi r. Aplicando a definição de radiano:
\theta_{\text{volta}}=\frac{s}{r}=\frac{2\pi r}{r}=2\pi.
Logo, uma volta corresponde a 2\pi radianos. Também sabemos que uma volta corresponde a 360^\circ. Portanto há equivalência
360^\circ \longleftrightarrow 2\pi\\ \text{rad}.
Dividindo ambos os lados por 360 ou por 2\pi obtemos as fórmulas de conversão:
\text{Para transformar graus em radianos:}\qquad \theta_{\text{rad}}=\theta^\circ\cdot\frac{\pi}{180}.
\text{Para transformar radianos em graus:}\qquad \theta^\circ=\theta_{\text{rad}}\cdot\frac{180}{\pi}.

Passo 7

Exemplos práticos (graus \to radianos) — cálculos passo a passo.
a) Converter 30^\circ para radianos:
30^\circ\cdot\frac{\pi}{180}=\frac{30\pi}{180}=\frac{\pi}{6}.
b) Converter 45^\circ para radianos:
45^\circ\cdot\frac{\pi}{180}=\frac{45\pi}{180}=\frac{\pi}{4}.
c) Converter 60^\circ para radianos:
60^\circ\cdot\frac{\pi}{180}=\frac{60\pi}{180}=\frac{\pi}{3}.
d) Converter 90^\circ para radianos:
90^\circ\cdot\frac{\pi}{180}=\frac{\pi}{2}.
e) Converter 180^\circ para radianos:
180^\circ\cdot\frac{\pi}{180}=\pi.
Esses são os resultados exatos frequentemente usados em trigonometria.

Passo 8

Exemplos práticos (radianos \to graus) — cálculos passo a passo.
a) Converter \dfrac{\pi}{6} para graus:
\frac{\pi}{6}\cdot\frac{180}{\pi}=30^\circ.
b) Converter \dfrac{\pi}{4} para graus:
\frac{\pi}{4}\cdot\frac{180}{\pi}=45^\circ.
c) Converter \dfrac{\pi}{2} para graus:
\frac{\pi}{2}\cdot\frac{180}{\pi}=90^\circ.

Passo 9

Observações úteis para prova e intuições rápidas.
  • Coterminalidade: ângulos que diferem por uma volta completa são equivalentes em posição. Em graus adiciona-se/subtrai-se 360^\circ; em radianos adiciona-se/subtrai-se 2\pi. Ex.: -45^\circ é coterminal com 315^\circ. Em radianos -\dfrac{\pi}{4} é coterminal com \dfrac{7\pi}{4}.
  • Radianos são a unidade natural em cálculo e análise porque relacionam ângulo a comprimento de arco linearmente. Por exemplo, a aproximação de ângulo pequeno:
\sin\theta\approx\theta
é válida quando \theta está em radianos (para \theta em graus essa fórmula não vale diretamente).
  • Dica de prova: memorize as equivalências comuns ( 30^\circ=\tfrac{\pi}{6}, 45^\circ=\tfrac{\pi}{4}, 60^\circ=\tfrac{\pi}{3}, 90^\circ=\tfrac{\pi}{2}, 180^\circ=\pi) e a fórmula de conversão \theta_{\text{rad}}=\theta^\circ\cdot\dfrac{\pi}{180}.

Resposta

Um ângulo é a figura formada por duas semirretas com origem comum (vértice) que mede a rotação entre elas.
Em graus: a volta completa vale 360^\circ; um grau é \tfrac{1}{360} de volta. Conversão para radianos: \theta_{\text{rad}}=\theta^\circ\cdot\dfrac{\pi}{180}.
Em radianos: a medida é \theta=\dfrac{s}{r}, onde s é o comprimento do arco subtendido e r o raio; a volta completa vale 2\pi. Conversão para graus: \theta^\circ=\theta_{\text{rad}}\cdot\dfrac{180}{\pi}.

Exercícios relacionados