Defina ângulo. Em Graus e Radianos.
Passo 1
O que o enunciado pede: definir o que é um ângulo e dar as definições de sua medida em graus e em radianos. Não há dados numéricos adicionais; o pedido é conceitual e pede também a relação entre as duas unidades.
Passo 2
Definição geométrica básica do ângulo (parte pedagógica e intuitiva).
Um ângulo é a figura formada por duas semirretas que partem de um mesmo ponto chamado vértice. Essas duas semirretas são os “lados” do ângulo e a região entre elas representa a abertura ou rotação que separa uma semirreta da outra. Em palavras: medir um ângulo é medir o quanto uma semirreta foi girada, em relação à outra, ao redor do vértice.
Um ângulo é a figura formada por duas semirretas que partem de um mesmo ponto chamado vértice. Essas duas semirretas são os “lados” do ângulo e a região entre elas representa a abertura ou rotação que separa uma semirreta da outra. Em palavras: medir um ângulo é medir o quanto uma semirreta foi girada, em relação à outra, ao redor do vértice.
Passo 3
O que significa medir um ângulo — ideia geral.
Medir um ângulo é atribuir um número que indique essa abertura/rotação. Existem várias unidades para fazer isso; as duas mais usadas são o grau e o radiano. Cada unidade dá uma forma diferente (mas equivalente) de quantificar a mesma rotação.
Medir um ângulo é atribuir um número que indique essa abertura/rotação. Existem várias unidades para fazer isso; as duas mais usadas são o grau e o radiano. Cada unidade dá uma forma diferente (mas equivalente) de quantificar a mesma rotação.
Passo 4
Definição em graus.
A medida em graus divide a volta completa em . Assim:
A medida em graus divide a volta completa em
- Uma volta completa (um giro de
) é a rotação que leva uma semirreta de volta à posição inicial. - Um grau é definido como
de uma volta.
Ou seja,de uma volta, é um quarto de volta, meia volta, etc.
Passo 5
Definição em radianos (a definição mais “natural”).
O radiano é definido a partir da circunferência e do comprimento de arco. Seja um círculo de raio . Se um ângulo subtende um arco de comprimento
nesse círculo, a medida em radianos desse ângulo é
O radiano é definido a partir da circunferência e do comprimento de arco. Seja um círculo de raio
Explicando: o radiano mede a abertura pelo comprimento do arco que o ângulo “varre” sobre uma circunferência de raio
. Como
e
têm a mesma unidade,
é adimensional (apenas um número). Um radiano é, portanto, o ângulo que subtende um arco cujo comprimento é igual ao raio.
Passo 6
Relação entre volta completa e as duas unidades — obtenção da fórmula de conversão.
Uma volta completa tem comprimento de arco . Aplicando a definição de radiano:
Uma volta completa tem comprimento de arco
Logo, uma volta corresponde a
radianos. Também sabemos que uma volta corresponde a
. Portanto há equivalência
Dividindo ambos os lados por
ou por
obtemos as fórmulas de conversão:
Passo 7
Exemplos práticos (graus
radianos) — cálculos passo a passo.
a) Converter para radianos:
a) Converter
b) Converter
para radianos:
c) Converter
para radianos:
d) Converter
para radianos:
e) Converter
para radianos:
Esses são os resultados exatos frequentemente usados em trigonometria.
Passo 8
Exemplos práticos (radianos
graus) — cálculos passo a passo.
a) Converter para graus:
a) Converter
b) Converter
para graus:
c) Converter
para graus:
Passo 9
Observações úteis para prova e intuições rápidas.
- Coterminalidade: ângulos que diferem por uma volta completa são equivalentes em posição. Em graus adiciona-se/subtrai-se
; em radianos adiciona-se/subtrai-se . Ex.: é coterminal com . Em radianos é coterminal com . - Radianos são a unidade natural em cálculo e análise porque relacionam ângulo a comprimento de arco linearmente. Por exemplo, a aproximação de ângulo pequeno:
é válida quando
está em radianos (para
em graus essa fórmula não vale diretamente).
- Dica de prova: memorize as equivalências comuns (
, , , , ) e a fórmula de conversão .
Resposta
Um ângulo é a figura formada por duas semirretas com origem comum (vértice) que mede a rotação entre elas.
Em graus: a volta completa vale ; um grau é
de volta. Conversão para radianos:
.
Em radianos: a medida é , onde
é o comprimento do arco subtendido e
o raio; a volta completa vale
. Conversão para graus:
.
Em graus: a volta completa vale
Em radianos: a medida é