No contexto da teoria das probabilidades, explique o significado de uma variável aleatória.

Passo 1

O enunciado pede para explicar o que é uma variável aleatória dentro da teoria das probabilidades. O conteúdo principal envolve o conceito de experimento aleatório, espaço amostral e a definição de uma variável aleatória como uma função que atribui números reais a cada resultado do experimento.

Passo 2

Em probabilidade, começamos com um experimento aleatório, isto é, um procedimento cujos resultados não podem ser previstos com certeza. O conjunto de todos os possíveis resultados desse experimento chamamos de espaço amostral, denotado por \Omega. Cada elemento \omega\in\Omega é chamado de resultado ou ponto amostral.

Passo 3

Uma variável aleatória X é, de forma simplificada, uma regra que associa a cada ponto amostral \omega\in\Omega um número real X(\omega). Em notação matemática escrevemos
X:\Omega\to\mathbb{R}.
Essa função deve ser adequada para que possamos falar de probabilidades de eventos do tipo \{\,\omega:X(\omega)\le x\}. Na teoria mais formal, exige-se que X seja uma função mensurável, mas aqui basta entender que X “traduz” resultados em valores numéricos.

Passo 4

É útil ver exemplos práticos:
  1. Lançar uma moeda honesta. Definimos
X(\omega)= \begin{cases} 1,&\text{se }\omega=\text{Coroa},\\\\ 0,&\text{se }\omega=\text{Cara}. \end{cases}
  1. Lançar um dado. Podemos ter
Y(\omega)=\text{número de pontos no dado},ú
de modo que \Omega=\{1,2,3,4,5,6\} e Y(\omega)=\omega.

Passo 5

Por que usar variáveis aleatórias?
  • Elas transformam resultados qualitativos em valores numéricos, permitindo calcular função de distribuição
F_X(x)=P\bigl(X\le x\bigr),
e grandezas como esperança e variância.
  • Assim conseguimos aplicar ferramentas analíticas (integrais, somas, etc.) para estudar o comportamento probabilístico do experimento.

Resposta

Uma variável aleatória é uma função X:\Omega\to\mathbb{R} que atribui a cada resultado \omega de um experimento aleatório um valor numérico X(\omega), de modo a possibilitar o cálculo de probabilidades e medidas de tendência (como esperança e variância) sobre esses valores.

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