1. PROBLEMA 2.31 - Os passageiros de um aeroporto chegam a um determinado ponto de verificação de segurança à taxa de 120 passageiros/h. Os tempos de check-in dos passageiros variam de acordo com uma distribuição exponencial negativa com um valor médio de 25 segundos por passageiro. Determine:
    a) O número médio de passageiros que aguaram na fila em frente ao ponto de verificação de segurança;
    b) O tempo médio de espera dos passageiros;
    c) O tempo médio que um passageiro gasta no sistema.

Passo 1

O enunciado descreve um problema de fila M/M/1 (chegadas Poisson e atendimento exponencial). Chegadas à taxa \lambda=120 passageiros/h. O tempo médio de serviço é de 25 s por passageiro, ou seja, em horas
\text{tempo médio} = \frac{25}{3600}\text{ h},é
logo a taxa de serviço é
\mu = \frac{1}{25/3600} = \frac{3600}{25} = 144\text{ passageiros/h}.
Vamos usar as fórmulas padrão para M/M/1.

Passo 2

Calculamos o fator de utilização
\rho = \frac{\lambda}{\mu} = \frac{120}{144} = \frac{5}{6}\approx0,8333.

Passo 3

O número médio de passageiros na fila é
L_q = \frac{\rho^2}{1-\rho} = \frac{\bigl(\tfrac{5}{6}\bigr)^2}{1-\tfrac{5}{6}} = \frac{\tfrac{25}{36}}{\tfrac{1}{6}} = \frac{25}{6}\approx4{,}17.

Passo 4

O tempo médio de espera na fila vem de
W_q = \frac{L_q}{\lambda} = \frac{25/6}{120\\ \text{h}^{-1}} = \frac{25}{720}\\ \text{h} \approx0{,}03472\\ \text{h}.
Convertendo para segundos:
W_q \approx0{,}03472\times3600\\ \text{s}=125\\ \text{s}.

Passo 5

O tempo médio no sistema é a soma do tempo na fila com o tempo de serviço médio:
W = W_q + \frac{1}{\mu} = 0{,}03472\\ \text{h} + \frac{1}{144\\ \text{h}^{-1}} =0{,}03472\\ \text{h} +0{,}00694\\ \text{h} =0{,}04167\\ \text{h},
isto é
W =150\\ \text{s}.

Resposta

a) L_q\approx4{,}17 passageiros
b) W_q\approx125 s
c) W\approx150 s

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