Uma via expressa de seis faixas (três em cada sentido) tem uma capacidade de 6.000 veículos/h/faixa sob condições normais. Certo dia um acidente ocorre às 16 h . O acidente inicialmente provoca o fechamento de duas das três faixas da via expressa e, consequentemente, reduz a capacidade para apenas 2.000 veículos/h para aquele sentido. Às 16h30, a capacidade da via expressa é parcialmente restabelecida para 4.000 veículos/h. Finalmente, às 17h, o local do acidente é totalmente liberado e a capacidade plena da via expressa é restabelecida.
Considerando que a demanda de tráfego do local do acidente é dada pela tabela a seguir, determine:
(a) o comprimento máximo da fila formada no local do acidente;
(b) a hora em que a fila dissipa;
(c) o atraso total;
Período de tempo Volume em 15 minutos
16h00-16h15 700
16h15-16h30 900
16h30-16h45 1.100
16h45-17h00 1.200
17h00-17h15 800
17h15-17h30 700
17h30-17h45 1.100
17h45-18h00 900

Passo 1

O enunciado envolve controle de filas em via expressa sob variação de capacidade ao longo do tempo. Temos capacidade normal de \,3 faixas × \,6000,veículos/h = \,18000,veículos/h. De 16h00 a 16h30, acidente reduz a capacidade a \,2000,veículos/h; de 16h30 a 17h00 ela passa a \,4000,veículos/h; e a partir de 17h00 recupera-se a capacidade plena ( \,18000,veículos/h). A demanda é dada em volumes de 15 min. Vamos (1) converter capacidades também em volumes de 15 min; (2) traçar evolução da fila; (3) determinar máximo da fila; (4) calcular instante de dissipação; e (5) obter atraso total como área sob a curva da fila.

Passo 2

Cada capacidade horária deve ser dividida por 4 para virar volume em 15 min:
C_1 = \frac{2000}{4} = 500,\quad C_2 = \frac{4000}{4} = 1000,\quad C_3 = \frac{18000}{4} = 4500
onde C_1 vale de 16h00–16h30, C_2 de 16h30–17h00 e C_3 a partir de 17h00. A demanda D_i em cada quarto de hora está na tabela do enunciado.

Passo 3

Vamos definir Q_k como comprimento da fila ao final do k-ésimo intervalo de 15 min, com Q_0=0. Para cada intervalo,
Q_k = Q_{k-1} + D_k - C
onde C=C_1 nos dois primeiros, C=C_2 nos dois seguintes, e C=C_3 no quinto. Assim:
  • 16h00–16h15: Q_1=0+700-500=200
  • 16h15–16h30: Q_2=200+900-500=600
  • 16h30–16h45: Q_3=600+1100-1000=700
  • 16h45–17h00: Q_4=700+1200-1000=900
  • 17h00–17h15: inicia com Q_4=900, chega D_5=800 e capacidade C_3=4500. Como 4500>900+800, toda a fila e ainda as que chegam são atendidas, levando a Q_5=0.

Passo 4

O valor máximo de fila ocorre ao final de 16h45–17h00 e é
\max_k Q_k = Q_4 = 900\text{ veículos.}í

Passo 5

Para achar o instante exato de dissipação dentro de 17h00–17h15, usamos vazões contínuas: taxa de chegada \lambda = \tfrac{800}{15}=53{,}33 veíc/min e serviço \mu = \tfrac{4500}{15}=300 veíc/min enquanto Q>0. O ritmo de redução é \mu-\lambda=246{,}67 veíc/min. Partindo de Q(0)=900, o zero ocorre em
t = \frac{900}{246{,}67}\approx3{,}65\text{ min}
após 17h00, ou seja em aproximadamente 17h03min40s.

Passo 6

O atraso total (em veíc-h) é a área sob Q(t). Discretamente nos quatro primeiros intervalos de 15 min calculamos
\Delta T_k = \frac{Q_{k-1}+Q_k}{2}\times0{,}25\quad(\text{h})
e no intervalo final usamos \tfrac{900+0}{2}\times\frac{3{,}65}{60}. Assim:
\Delta T_1=100\times0{,}25=25,\quad \Delta T_2=400\times0{,}25=100,\quad \Delta T_3=650\times0{,}25=162{,}5,\quad \Delta T_4=800\times0{,}25=200,
\Delta T_5=450\times\frac{3{,}65}{60}\approx27{,}4.
Somando, o atraso total é cerca de
25+100+162{,}5+200+27{,}4\approx514{,}9\text{ veíc-h.}í

Resposta

(a) 900 veículos
(b) aproximadamente 17h03min40s
(c) cerca de 514,9 veíc-h

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