Nos problemas de 1 a 6 , escreva cada função em termos de funções degrau unitário. Encontre a T.Laplace da função dada:
f(t)=l0,0 <= t<3 pi2 sen t, t >= 3 pi2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para expressarmos a função f(t) usando funções degrau unitário e depois achar a Transformada de Laplace dela. A matéria envolvida aqui é a Transformada de Laplace e o uso das funções degrau (ou função de Heaviside) para modelar mudanças na função ao longo do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função f(t) . Ela é zero até t = 3pi2 e, a partir desse ponto, passa a ser sin(t) . Para representar essa mudança usando a função degrau unitário u(t - a) , onde a é o ponto de mudança, fazemos:
f(t) = 0 cdot u(t) + sin(t) cdot u(t - 3pi2)
Como 0 cdot u(t) é zero, simplificamos para:
f(t) = sin(t) cdot u(t - 3pi2)

Passo 3

Agora, vamos encontrar a Transformada de Laplace dessa função. A Transformada de Laplace de sin(t) é conhecida e é:
Lsin(t) = 1s^2 + 1
Mas como a função é deslocada no tempo por 3pi2 , usamos a propriedade de deslocamento da Transformada de Laplace, que diz:
Lf(t - a) cdot u(t - a) = e^-as cdot F(s)
Onde F(s) é a Transformada de Laplace da função original f(t) .

Passo 4

Aplicando essa propriedade no nosso caso, temos a = 3pi2 e F(s) = 1s^2 + 1 . Então, a Transformada de Laplace de f(t) é:
Lf(t) = e^-3pi2s cdot 1s^2 + 1

Resposta

A Transformada de Laplace de f(t) é:
Lf(t) = e^-3pi2ss^2 + 1

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