A continuação são mostradas funções f(x) para um intervalo de comprimento L. Em cada caso, mostre as extensões par e impar de f(x) para um período igual a 2 L :
f(x) = x - 3 0 < x < 4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função definida no intervalo . Nosso objetivo é encontrar as extensões par e ímpar dessa função com um período igual a . Para isso, vamos usar os conceitos de extensões par e ímpar, que ajudam a estender uma função definida em um intervalo para todo o eixo dos números de forma simétrica.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a extensão par de . Uma função par é simétrica em relação ao eixo y, ou seja, .
Para construir a extensão par, definimos:
Isso garante que a função seja simétrica em relação ao eixo y.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a extensão ímpar de . Uma função ímpar é simétrica em relação à origem, ou seja, .
Para construir a extensão ímpar, definimos:
í
Simplificando a segunda parte:
í
Isso garante que a função seja simétrica em relação à origem.

Passo 4

Agora que temos as extensões par e ímpar no intervalo , vamos estender essas funções para todo o eixo dos números com um período de unidades.
A extensão par periódica ficará assim:
E a extensão ímpar periódica ficará assim:
íí

Resposta

As extensões da função com período são:
Extensão Par:
óí
Extensão Ímpar:
ííóí

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