A continuação são mostradas funções
para um intervalo de comprimento
. Em cada caso, mostre as extensões par e impar de
para um período igual a
:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função
definida no intervalo
. Nosso objetivo é encontrar as extensões par e ímpar dessa função com um período igual a
. Para isso, vamos usar os conceitos de extensões par e ímpar, que ajudam a estender uma função definida em um intervalo para todo o eixo dos números de forma simétrica.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a extensão par de
. Uma função par é simétrica em relação ao eixo y, ou seja,
.
Para construir a extensão par, definimos:
Isso garante que a função seja simétrica em relação ao eixo y.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a extensão ímpar de
. Uma função ímpar é simétrica em relação à origem, ou seja,
.
Para construir a extensão ímpar, definimos:
Simplificando a segunda parte:
Isso garante que a função seja simétrica em relação à origem.
Passo 4
Agora que temos as extensões par e ímpar no intervalo
, vamos estender essas funções para todo o eixo dos números com um período de
unidades.
A extensão par periódica ficará assim:
E a extensão ímpar periódica ficará assim:
Resposta
As extensões da função
com período
são:
Extensão Par:
Extensão Ímpar: