Para as funções indicadas encontre a série de Fourier de f(x) ou de f(x) extendida na forma indicada.
e) Encontre a série de Fourier em senos de f(x) = L - x 0 < x < L com período 2 L.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de Fourier em senos para a função no intervalo e com período . Isso faz parte do estudo de séries de Fourier, que nos ajudam a representar funções periódicas como somas de senos e cossenos. Vamos precisar usar as fórmulas para calcular os coeficientes da série de Fourier em senos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a série de Fourier em senos é usada para funções que são ímpares em relação ao eixo quando estendidas para todo o intervalo de definição. No nosso caso, a função vai ser estendida de forma que ela seja ímpar, o que significa que . Isso nos permite representar a função apenas com termos senoidais na série.

Passo 3

Agora, vamos lembrar da fórmula para calcular os coeficientes da série de Fourier em senos:
Precisamos calcular essa integral para cada .

Passo 4

Substituindo na fórmula:
Vamos resolver essa integral.

Passo 5

Vamos dividir a integral em duas partes:
Primeiro, vamos calcular .

Passo 6

A integral de é:
Avaliada de 0 a :

Passo 7

Agora, vamos calcular . Para isso, usamos a integração por partes, onde:
Aplicando a fórmula de integração por partes :
A segunda integral é:
Avaliada de 0 a :

Passo 8

Agora, voltando ao cálculo de :

Resposta

A série de Fourier em senos para no intervalo com período é:

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