Continuando com o exercício anterior considere que a probabilidade seja: 0,10 de que um chip sujeito a níveis altos de contaminação durante a fabricação cause uma falha no produto; 0,01 de que um chip sujeito a níveis médios de contaminação durante a fabricação cause uma falha no produto; 0,001 de que um chip sujeito a níveis baixos de contaminação durante a fabricação cause uma falha no produto. Em uma corrida de produção, 20 \% dos chips estão sujeitos a níveis altos de contaminação, 30 \% a níveis médios de contaminação e 50 \% a níveis baixos de contaminação. Qual é a probabilidade de que um produto, usando um desses chips, falhe? R.: 0,0235
\mathrm{A}= sujeito a níveis altos de contaminação
\mathrm{B}= sujeito a níveis médios de contaminação
\mathrm{C}= sujeito a níveis baixos de contaminação
\mathrm{D}= falha no produto
[
\begin{array}{ll} P(D / A)=0,10 & P(A)=0,20 \\ P(D / B)=0,01 & P(B)=0,30 \\ P(D / C)=0,001 & P\text{(C)}=0,50 \end{array}
]
P(D)=P(D \cap A) \cup P(D \cap B) \cup P(D \cap C)
P(D / A) \cdot P(A)+P(D / B) \cdot P(B)+P(D / C) \cdot P\text{(C)}
0,10 \cdot 0,20+0,01 \cdot 0,30+0,001 \cdot 0,5=0,0235

Passo 1

O enunciado dá três níveis de contaminação para um chip:
– Evento A: níveis altos, com P(A)=0,20 e P(D\mid A)=0,10.
– Evento B: níveis médios, com P(B)=0,30 e P(D\mid B)=0,01.
– Evento C: níveis baixos, com P\text{(C)}=0,50 e P(D\mid C)=0,001.
O que se quer é a probabilidade de falha D, sem condicionar em nenhum nível, usando o Teorema da Probabilidade Total.

Passo 2

O Teorema da Probabilidade Total diz que, se \{A,B,C\} é uma partição do espaço amostral, então
P(D)=P(D\cap A)+P(D\cap B)+P(D\cap C)
e como P(D\cap X)=P(D\mid X)\,P(X) para X\in\{A,B,C\}, temos
P(D)=P(D\mid A)P(A)+P(D\mid B)P(B)+P(D\mid C)P\text{(C)}.

Passo 3

Substituindo os valores numéricos:
P(D)=0,10\cdot0,20 \;+\; 0,01\cdot0,30 \;+\; 0,001\cdot0,50
Calculando cada termo:
0,10\cdot0,20=0,020,\quad 0,01\cdot0,30=0,003,\quad 0,001\cdot0,50=0,0005
Somando, obtemos
P(D)=0,020+0,003+0,0005 = 0,0235.

Resposta

A probabilidade de falha do produto é 0,0235.

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