As questões seguintes devem ser resolvidas utilizando a técnica de indução matemática:
09. Prove que 2^{n}<n! para todo inteiro n com n \geqslant 4. (Note que a desigualdade é falsa para n=1,2, e 3 ).

Passo 1

O que o enunciado pede: provar que 2^{n}<n! para todo inteiro n com n\geqslant 4.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: a desigualdade deve ser válida para todos os inteiros n maiores ou iguais a 4. O enunciado já observa que a desigualdade é falsa para n=1,2,3.

Passo 2

O método exigido: indução matemática. Vou explicar rapidinho o que é (para você usar na prova): a indução tem duas partes essenciais.
  1. Caso base: verificamos a desigualdade para um valor inicial (aqui n=4).
  2. Passo indutivo: assumimos que a desigualdade vale para um n=k arbitrário (hipótese de indução) e mostramos que, sob essa hipótese, ela vale para n=k+1.
    Se essas duas partes são verdadeiras, concluímos que a desigualdade vale para todo n a partir do caso base. Também vou explicar o que é factorial e potência quando precisar: n!=1\cdot2\cdot3\cdots n e 2^n é 2 multiplicado por si mesmo n vezes.

Passo 3

Caso base ( n=4). Calcular explicitamente os dois lados:
2^{4}=16
4!=1\cdot2\cdot3\cdot4=24
Como 16<24, o caso base n=4 é verdadeiro:
2^{4}<4!.

Passo 4

Hipótese de indução. Seja k um inteiro com k\geqslant 4. Suponha, como hipótese de indução, que
2^{k}<k!.
Vou usar isso para provar a desigualdade para k+1.

Passo 5

Passo indutivo: mostrar que 2^{k+1}<(k+1)! usando a hipótese de indução.
Começo escrevendo 2^{k+1} em função de 2^{k}:
2^{k+1}=2\cdot 2^{k}.
Pela hipótese de indução 2^{k}<k!, multiplicando ambos os lados por 2 (número positivo, então a desigualdade é preservada) obtemos
2^{k+1}=2\cdot 2^{k}<2\cdot k!.
Agora compare 2\cdot k! com (k+1)!. Lembrando que
(k+1)!=(k+1)\cdot k!,
temos, para k\geqslant 4, que k+1\geqslant 5, então k+1>2. Multiplicando k!>0 por k+1 e por 2 e usando que k+1>2, segue que
2\cdot k! < (k+1)\cdot k! = (k+1)!.
Combinando as duas desigualdades obtemos a cadeia
2^{k+1}<2\cdot k! < (k+1)!.
Portanto
2^{k+1}<(k+1)!.
Assim, sob a hipótese de indução, mostramos que a desigualdade vale para k+1.

Passo 6

Conclusão final pela indução. Como verificamos o caso base n=4 e provamos que, sempre que a desigualdade vale para n=k com k\geqslant 4 então ela vale para n=k+1, pelo princípio da indução matemática concluímos que
2^{n}<n!\quad\text{para todo inteiro }n\geqslant 4.
Pequena observação de checagem: para n=1,2,3 a desigualdade realmente falha (por exemplo 2^{3}=8 e 3!=6), como o enunciado apontou.

Resposta

2^{n}<n! para todo inteiro n\geqslant 4.

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