As questões seguintes devem ser resolvidas utilizando a técnica de indução matemática:
09. Prove que
para todo inteiro
com
. (Note que a desigualdade é falsa para
, e 3 ).
09. Prove que
Passo 1
O que o enunciado pede: provar que
para todo inteiro
com
.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: a desigualdade deve ser válida para todos os inteiros maiores ou iguais a
. O enunciado já observa que a desigualdade é falsa para
.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: a desigualdade deve ser válida para todos os inteiros
Passo 2
O método exigido: indução matemática. Vou explicar rapidinho o que é (para você usar na prova): a indução tem duas partes essenciais.
- Caso base: verificamos a desigualdade para um valor inicial (aqui
). - Passo indutivo: assumimos que a desigualdade vale para um
arbitrário (hipótese de indução) e mostramos que, sob essa hipótese, ela vale para .
Se essas duas partes são verdadeiras, concluímos que a desigualdade vale para todoa partir do caso base. Também vou explicar o que é factorial e potência quando precisar: e é multiplicado por si mesmo vezes.
Passo 3
Caso base (
). Calcular explicitamente os dois lados:
Como
, o caso base
é verdadeiro:
Passo 4
Hipótese de indução. Seja
um inteiro com
. Suponha, como hipótese de indução, que
Vou usar isso para provar a desigualdade para
.
Passo 5
Passo indutivo: mostrar que
usando a hipótese de indução.
Começo escrevendo
em função de
:
Pela hipótese de indução
, multiplicando ambos os lados por
(número positivo, então a desigualdade é preservada) obtemos
Agora compare
com
. Lembrando que
temos, para
, que
, então
. Multiplicando
por
e por
e usando que
, segue que
Combinando as duas desigualdades obtemos a cadeia
Portanto
Assim, sob a hipótese de indução, mostramos que a desigualdade vale para
.
Passo 6
Conclusão final pela indução. Como verificamos o caso base
e provamos que, sempre que a desigualdade vale para
com
então ela vale para
, pelo princípio da indução matemática concluímos que
Pequena observação de checagem: para
a desigualdade realmente falha (por exemplo
e
), como o enunciado apontou.