As questões seguintes devem ser resolvidas utilizando a técnica de indução matemática:
08. Prove a desigualdade
para todos os inteiros positivos.
08. Prove a desigualdade
Passo 1
O enunciado pede: provar que
para todo inteiro positivo
.
Informações dadas: é um inteiro positivo (ou seja,
).
Pergunta: demonstrar que a desigualdade é verdadeira para todo
.
Informações dadas:
Pergunta: demonstrar que a desigualdade
Passo 2
Explicando a técnica que vamos usar (indução matemática), de forma bem prática: a indução é como um efeito dominó. Temos duas etapas essenciais:
- Base da indução: mostramos que a propriedade vale para o primeiro dominó (aqui para algum
inicial, normalmente ). - Passo indutivo: mostramos que, se a propriedade vale para um inteiro qualquer
(hipótese de indução), então ela também vale para .
Se as duas etapas são verdadeiras, todos os inteiros positivos seguem (porque o primeiro domina o segundo, que domina o terceiro, e assim por diante). Vou usar exatamente esse esquema, e vou explicar cada pequena desigualdade que eu escrever.
Passo 3
Base da indução (
). Verificamos a desigualdade para
:
Calculando,
, então
é verdadeiro. Assim a base da indução está estabelecida.
Passo 4
Hipótese de indução. Suponha que a propriedade é verdadeira para um inteiro positivo arbitrário
; isto é, suponha que
Essa é a hipótese que assumimos para tentar provar que a propriedade vale também para
.
Passo 5
Passo indutivo — objetivo: provar que
sob a hipótese
.
Primeiro, adicionamos
em ambos os lados da desigualdade da hipótese (isso preserva a desigualdade):
Agora precisamos comparar
com
. Observe que, como
, temos
. Em particular,
Somando
em ambos os lados dessa última desigualdade obtemos
Juntando as duas desigualdades (a que veio de adicionar
à hipótese e a que acabamos de obter), temos uma cadeia:
Pelo encadeamento, concluímos
que é exatamente o que queríamos provar no passo indutivo.
Passo 6
Conclusão pela indução. Como verificamos a base (
) e mostramos que a verdade para um
implica a verdade para
, pelo princípio da indução matemática a desigualdade
vale para todo inteiro positivo
.
Resposta
Para todo inteiro positivo
,
.