As questões seguintes devem ser resolvidas utilizando a técnica de indução matemática:
08. Prove a desigualdade n<2^{n} para todos os inteiros positivos.

Passo 1

O enunciado pede: provar que \;n<2^{n}\; para todo inteiro positivo n.
Informações dadas: n é um inteiro positivo (ou seja, n\in\mathbb{Z}^{+}).
Pergunta: demonstrar que a desigualdade \;n<2^{n}\; é verdadeira para todo n\in\mathbb{Z}^{+}.

Passo 2

Explicando a técnica que vamos usar (indução matemática), de forma bem prática: a indução é como um efeito dominó. Temos duas etapas essenciais:
  1. Base da indução: mostramos que a propriedade vale para o primeiro dominó (aqui para algum n inicial, normalmente \;n=1\;).
  2. Passo indutivo: mostramos que, se a propriedade vale para um inteiro qualquer \;k\ge1\; (hipótese de indução), então ela também vale para \;k+1\;.
    Se as duas etapas são verdadeiras, todos os inteiros positivos seguem (porque o primeiro domina o segundo, que domina o terceiro, e assim por diante). Vou usar exatamente esse esquema, e vou explicar cada pequena desigualdade que eu escrever.

Passo 3

Base da indução ( n=1). Verificamos a desigualdade para \;n=1\;:
1 < 2^{1}.
Calculando, \;2^{1}=2\;, então \;1<2\; é verdadeiro. Assim a base da indução está estabelecida.

Passo 4

Hipótese de indução. Suponha que a propriedade é verdadeira para um inteiro positivo arbitrário \;k\;; isto é, suponha que
k < 2^{k}.
Essa é a hipótese que assumimos para tentar provar que a propriedade vale também para \;k+1\;.

Passo 5

Passo indutivo — objetivo: provar que \;k+1 < 2^{k+1}\; sob a hipótese \;k < 2^{k}\;.
Primeiro, adicionamos 1 em ambos os lados da desigualdade da hipótese (isso preserva a desigualdade):
k + 1 < 2^{k} + 1.
Agora precisamos comparar 2^{k}+1 com 2^{k+1}. Observe que, como \;k\ge1\;, temos \;2^{k}\ge 2^{1}=2\;. Em particular,
1 \le 2^{k}.
Somando 2^{k} em ambos os lados dessa última desigualdade obtemos
2^{k} + 1 \le 2^{k} + 2^{k} = 2\cdot 2^{k} = 2^{k+1}.
Juntando as duas desigualdades (a que veio de adicionar 1 à hipótese e a que acabamos de obter), temos uma cadeia:
k+1 < 2^{k} + 1 \le 2^{k+1}.
Pelo encadeamento, concluímos
k+1 < 2^{k+1},
que é exatamente o que queríamos provar no passo indutivo.

Passo 6

Conclusão pela indução. Como verificamos a base ( n=1) e mostramos que a verdade para um k implica a verdade para k+1, pelo princípio da indução matemática a desigualdade \;n<2^{n}\; vale para todo inteiro positivo \;n\in\mathbb{Z}^{+}.

Resposta

Para todo inteiro positivo n, n<2^{n}.

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