Continuidade dos campos na eletrostática de meios materiais II. Considerando ainda a situação do problema anterior, mostre que na interface entre os meios, a componente do campo E tangencial à interface é contínua, ou seja, E|^(2)-E|^(1)=0, onde E|^(j) denota a componete tangencial no meio j. Para isso, considere que a circulação do campo eletrostático E é nula e escolha um caminho fechado conveniente na vizinhança da interface entre os meios.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, na interface entre dois meios materiais em eletrostática, a componente do campo elétrico tangencial à superfície não “pula” ao passar de um meio para o outro. Em símbolos, queremos provar
E|^(2) - E|^(1) = 0,
Isso faz parte da matéria de condições de contorno em eletrostática, e a ferramenta principal que vamos usar é o fato de que em eletrostática a circulação do campo é nula:
nabla times E = 0 Longrightarrow ointC Ecdot dl = 0,

Passo 2

Antes de mergulhar nos cálculos, entenda a teoria:
  1. “Circulação nula” significa que se você fechar um caminho qualquer C, a integral de Ecdot dl ao longo dele é zero.
  2. A “componente tangencial” de E é justamente a parte de E que fica paralela à superfície de separação dos meios.
Então, pra usar essa circulação zero, vamos desenhar um loop retangular bem pequenininho que atravessa a interface.

Passo 3

Desenhando o contorno:
  • Pegue um retângulo com dois lados de comprimento l paralelos à interface e dois lados de comprimento h perpendiculares a ela.
  • O lado de cima fica inteiramente no meio 2, o lado de baixo fica no meio 1, e as laterais cruzam a interface.
  • Em seguida, vamos fazer h to 0, de forma que os lados perpendiculares fiquem tão pequenos que sua contribuição na integral seja desprezível.

Passo 4

Vamos calcular a circulação ointC Ecdot dl=0 somando a contribuição dos quatro lados:
  1. Lado superior (meio 2), sentido da esquerda pra direita: integralsup Ecdot dl approx E|^(2),l,
    2. Lado lateral direito (cruzando a interface), sentido pra baixo:
    integrallat Ecdot dl sim Eperp,h,, mas como hto0, isso tende a zero.
  2. Lado inferior (meio 1), sentido da direita pra esquerda: integralinf Ecdot dl approx -,E|^(1),l,,
    o sinal negativo vem porque o percurso é oposto ao vetor tangencial no meio 1.
    4. Lado lateral esquerdo, sentido pra cima: de novo dá algo propto h e some quando hto0.
Somando tudo e usando ointCEcdot dl=0,
E|^(2),l ;+; 0 ;-; E|^(1),l ;+; 0 ;=; 0,
Divide por lneq0 e pronto:
E|^(2) - E|^(1) = 0,

Resposta

boxedE|^(2) - E|^(1) = 0,

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