Continuidade dos campos na eletrostática de meios materiais II. Considerando ainda a situação do problema anterior, mostre que na interface entre os meios, a componente do campo
tangencial à interface é contínua, ou seja,
, onde
denota a componete tangencial no meio
. Para isso, considere que a circulação do campo eletrostático
é nula e escolha um caminho fechado conveniente na vizinhança da interface entre os meios.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, na interface entre dois meios materiais em eletrostática, a componente do campo elétrico tangencial à superfície não “pula” ao passar de um meio para o outro. Em símbolos, queremos provar
Isso faz parte da matéria de condições de contorno em eletrostática, e a ferramenta principal que vamos usar é o fato de que em eletrostática a circulação do campo é nula:
Passo 2
Antes de mergulhar nos cálculos, entenda a teoria:
- “Circulação nula” significa que se você fechar um caminho qualquer
, a integral de ao longo dele é zero. - A “componente tangencial” de
é justamente a parte de que fica paralela à superfície de separação dos meios.
Então, pra usar essa circulação zero, vamos desenhar um loop retangular bem pequenininho que atravessa a interface.
Passo 3
Desenhando o contorno:
- Pegue um retângulo com dois lados de comprimento
paralelos à interface e dois lados de comprimento perpendiculares a ela. - O lado de cima fica inteiramente no meio 2, o lado de baixo fica no meio 1, e as laterais cruzam a interface.
- Em seguida, vamos fazer
, de forma que os lados perpendiculares fiquem tão pequenos que sua contribuição na integral seja desprezível.
Passo 4
Vamos calcular a circulação
somando a contribuição dos quatro lados:
- Lado superior (meio 2), sentido da esquerda pra direita:
2. Lado lateral direito (cruzando a interface), sentido pra baixo:
mas como , isso tende a zero. - Lado inferior (meio 1), sentido da direita pra esquerda:
o sinal negativo vem porque o percurso é oposto ao vetor tangencial no meio 1.
4. Lado lateral esquerdo, sentido pra cima: de novo dá algoe some quando .
Somando tudo e usando
,
Divide por