d qd t=dotq=partial Hpartial p, d pd t=dotp=-partial Hpartial q
O ponto (q, p) fornece então o que chamamos de estado mecânico e pode ser representado em um sistema de coordenadas chamado de espaço de fase. Dado um conjunto de condições iniciais ( q0, p0 ), a evolução temporal fornecida pelas equações anteriores gera um conjunto de trajetórias no espaço de fase. O movimento dessas trajetórias nesse espaço pode ser pensado então como o movimento de um fluido cujo campo de velocidades é definido por v=(dotq, dotp). (a) Definindo o operador nabla no espaço de fases como nabla=(partial / partial q, partial / partial p), calcule nabla cdot v, isto é, o divergente de v.

Passo 1

Beleza, o exercício fala das equações de Hamilton:
dot q = partial Hpartial p, dot p = -partial Hpartial q
Aí a gente trata o par (q,p) como o “estado” de um sistema e define um campo de velocidade no espaço de fases:
v = (dot q,dot p),
O que pedem é calcular o divergente desse campo, isto é
nablacdot v
onde nabla=(partial/partial q,;partial/partial p).
Pra resolver, você vai precisar lembrar o que é divergente de um campo vetorial e usar cálculo de derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, a definição de divergente em duas dimensões (aqui q,p) é
nablacdot v ;=;partial v1partial q ;+;partial v2partial p,,
onde v1=dot q e v2=dot p.

Passo 3

Substituindo v1 e v2 pelas expressões Hamiltonianas:
v1 = partial Hpartial p, v2 = -partial Hpartial q,
Logo
$$\frac{\partial v_1}{\partial q} = \frac{\partial}{\partial q}\Bigl(\frac{\partial H}{\partial p}\Bigr)
= \frac{\partial^2 H}{\partial q,\partial p}, partial v1partial q = partialpartial ql(partial Hpartial pr) = partial^2 Hpartial q,partial p,\frac{\partial v_2}{\partial p} = \frac{\partial}{\partial p}\Bigl(-\frac{\partial H}{\partial q}\Bigr)
= -,\frac{\partial^2 H}{\partial p,\partial q}.$$

Passo 4

Agora somamos os dois termos:
$$\nabla\cdot\mathbf v
= \frac{\partial^2 H}{\partial q,\partial p} ;-;\frac{\partial^2 H}{\partial p,\partial q}. nablacdot v = partial^2 Hpartial q,partial p ;-;partial^2 Hpartial p,partial qã\frac{\partial^2 H}{\partial q,\partial p} = \frac{\partial^2 H}{\partial p,\partial q},$$
então a conta dá zero.

Resposta

nablacdot v = 0

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