O ponto
fornece então o que chamamos de estado mecânico e pode ser representado em um sistema de coordenadas chamado de espaço de fase. Dado um conjunto de condições iniciais (
), a evolução temporal fornecida pelas equações anteriores gera um conjunto de trajetórias no espaço de fase. O movimento dessas trajetórias nesse espaço pode ser pensado então como o movimento de um fluido cujo campo de velocidades é definido por
. (a) Definindo o operador
no espaço de fases como
, calcule
, isto é, o divergente de
.
Passo 1
Beleza, o exercício fala das equações de Hamilton:
Aí a gente trata o par
O que pedem é calcular o divergente desse campo, isto é
onde
Pra resolver, você vai precisar lembrar o que é divergente de um campo vetorial e usar cálculo de derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, a definição de divergente em duas dimensões (aqui
) é
onde
Passo 3
Substituindo
e
pelas expressões Hamiltonianas:
Logo
$$\frac{\partial v_1}{\partial q} = \frac{\partial}{\partial q}\Bigl(\frac{\partial H}{\partial p}\Bigr)
= \frac{\partial^2 H}{\partial q,\partial p},
\frac{\partial v_2}{\partial p} = \frac{\partial}{\partial p}\Bigl(-\frac{\partial H}{\partial q}\Bigr)
= -,\frac{\partial^2 H}{\partial p,\partial q}.$$
Passo 4
Agora somamos os dois termos:
$$\nabla\cdot\mathbf v
= \frac{\partial^2 H}{\partial q,\partial p} ;-;\frac{\partial^2 H}{\partial p,\partial q}.
\frac{\partial^2 H}{\partial q,\partial p} = \frac{\partial^2 H}{\partial p,\partial q},$$
então a conta dá zero.