Vetores contra e covariantes I. Existem, na verdade, dois tipos de vetores no que diz respeito à regra de transformação de suas componentes perante uma mudança de sistema de coordenadas. (a) Considere o vetor deslocamento
em duas dimensões. Mostre que na transformação para coordenadas polares, suas componentes se transformam como
ou seja, segue a regra
.
Passo 1
O enunciado pede para a gente pegar o vetor deslocamento em coordenadas cartesianas
e mostrar que, ao mudar para coordenadas polares
, as componentes
e
vêm da regra
isto é, são “covariantes”.
Conteúdo: mudança de base (i,j) → , produto escalar e diferenciação de funções.
O que vamos precisar:
Conteúdo: mudança de base (i,j) →
O que vamos precisar:
- Relações entre cartesianas e polares
- Bases polares em função de
:
- Derivar
e .
Passo 2
Vamos primeiro achar
.
Escrevendo
Escrevendo
o produto escalar dá
Passo 3
Por outro lado,
em função de
é
Logo o diferencial total é
Mas
e
. Então
Comparando com o resultado de
, vemos que
E isso coincide com
Passo 4
Agora
.
Escrevendo
,
Escrevendo
Passo 5
Por outro lado,
em função de
é
.
Então
Então
E reconhecemos que
de modo que
Multiplicando ambos os lados por
, temos
Se definirmos
ou diretamente perceber que
até um fator de escala, vemos que a forma covariante bate com
Resposta
As componentes do deslocamento em coordenadas polares são
Ou, de modo geral, seguem a regra covariante
com
e
.