Vetores contra e covariantes I. Existem, na verdade, dois tipos de vetores no que diz respeito à regra de transformação de suas componentes perante uma mudança de sistema de coordenadas. (a) Considere o vetor deslocamento d r=i d x+j d y em duas dimensões. Mostre que na transformação para coordenadas polares, suas componentes se transformam como
(d r)r & =(d r cdot er)=d sr=partial srpartial x d x+partial srpartial y d y (d r)varphi & =(d r cdot evarphi)=d svarphi=partial svarphipartial x d x+partial svarphipartial y d y
ou seja, segue a regra d smu=sumj(partial smu / partial xj) d xj.

Passo 1

O enunciado pede para a gente pegar o vetor deslocamento em coordenadas cartesianas
d r ;=; i,dx;+; j,dy
e mostrar que, ao mudar para coordenadas polares d smu ;=;sumjpartial smupartial xj,dxj, , as componentes
x = rcosvarphi, y=rsinvarphi e hat er=cosvarphi, i+sinvarvarphi, j, hat evarphi=-sinvarphi, i+cosvarphi, j vêm da regra
isto é, são “covariantes”.
Conteúdo: mudança de base (i,j) → , produto escalar e diferenciação de funções.
O que vamos precisar:
  1. Relações entre cartesianas e polares
  1. Bases polares em função de :
  1. Derivar e .

Passo 2

Vamos primeiro achar d r = i,dx + j,dy e hat er = cosvarphi, i+sinvarphi, j, .
Escrevendo
(d r)r = ( i,dx + j,dy);cdot; (cosvarphi, i+sinvarphi, j) = cosvarphi,dx ;+;sinvarphi,dy
o produto escalar dá

Passo 3

Por outro lado, r = raizx^2+y^2 em função de dr = partial rpartial x,dx +partial rpartial y,dy = xraizx^2+y^2,dx +yraizx^2+y^2,dy é
dr = cosvarphi,dx + sinvarphi,dy
Logo o diferencial total é
(d r)r = dr
Mas d sr = sumjpartial srpartial xjdxj com sr=r e . Então
Comparando com o resultado de , vemos que
E isso coincide com

Passo 4

Agora (d r)varphi = (hat i,dx + hat j,dy)cdot(-sinvarphi,hat i +cosvarphi,hat j) = -sinvarphi,dx + cosvarphi,dy .
Escrevendo
,

Passo 5

Por outro lado, dvarphi = partialvarphipartial x,dx +partialvarphipartial y,dy = -yx^2+y^2,dx +xx^2+y^2,dy em função de -sinvarphi = -yr, cosvarphi = xr, r^2=x^2+y^2, é dvarphi = -yr^2,dx + xr^2,dy = -sinvarphi,1r,dx + cosvarphi,1r,dy .
Então
r,dvarphi = -sinvarphi,dx + cosvarphi,dy = (d r)varphi
E reconhecemos que
d svarphi = sumjpartial svarphipartial xj,dxj
de modo que
Multiplicando ambos os lados por , temos
Se definirmos ou diretamente perceber que até um fator de escala, vemos que a forma covariante bate com

Resposta

As componentes do deslocamento em coordenadas polares são
(d r)r = dr = xraizx^2+y^2,dx + yraizx^2+y^2,dy,
(d r)varphi = r,dvarphi = -sinvarphi,dx + cosvarphi,dy = -yx^2+y^2,dx + xx^2+y^2,dy
Ou, de modo geral, seguem a regra covariante
d smu ;=;sumjpartial smupartial xj,dxj,
com e .

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