Exemplo 2: Encontrar o domínio e a Imagem das seguintes funções:
a) z=x^{2}+y^{2}
b) z=x+y+4

Passo 1

O enunciado pede para cada função de duas variáveis x,y determinarmos o domínio (conjunto de (x,y) em que a expressão faz sentido) e a imagem (conjunto de valores z que a função assume). Vamos usar fatos básicos sobre polinômios e somas de quadrados.

Passo 2

Como ambas as funções são polinômios em x e y, não há restrição de divisão por zero, raiz de índice par de número negativo ou logaritmo de argumento não positivo. Logo, o domínio de cada função é todo o plano:
\text{Domínio}=\{(x,y)\mid x\in\mathbb{R},\;y\in\mathbb{R}\}=\mathbb{R}^2.í

Passo 3

Para f(x,y)=x^2+y^2, como cada termo x^2 e y^2 é sempre \ge0, a soma também é \ge0. O menor valor ocorre em (0,0), com f(0,0)=0. Quando \|(x,y)\|\to\infty, x^2+y^2\to\infty. Portanto a imagem é
\{\,z\mid z\ge0\}=[0,\infty).

Passo 4

Para g(x,y)=x+y+4, trata-se de uma forma linear. Dado qualquer valor alvo z_0\in\mathbb{R}, podemos escolher por exemplo y=0 e x=z_0-4, obtendo g(x,y)=z_0. Logo todo z_0\in\mathbb{R} é atingido, e a imagem é
(-\infty,\infty)=\mathbb{R}.

Resposta

a) Domínio: \mathbb{R}^2. Imagem: [0,\infty).
b) Domínio: \mathbb{R}^2. Imagem: \mathbb{R}.

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