Exemplo 2: Encontrar o domínio e a Imagem das seguintes funções:
a)
b)
a)
b)
Passo 1
O enunciado pede para cada função de duas variáveis
determinarmos o domínio (conjunto de
em que a expressão faz sentido) e a imagem (conjunto de valores
que a função assume). Vamos usar fatos básicos sobre polinômios e somas de quadrados.
Passo 2
Como ambas as funções são polinômios em
e
, não há restrição de divisão por zero, raiz de índice par de número negativo ou logaritmo de argumento não positivo. Logo, o domínio de cada função é todo o plano:
Passo 3
Para
, como cada termo
e
é sempre
, a soma também é
. O menor valor ocorre em
, com
. Quando
,
. Portanto a imagem é
Passo 4
Para
, trata-se de uma forma linear. Dado qualquer valor alvo
, podemos escolher por exemplo
e
, obtendo
. Logo todo
é atingido, e a imagem é
Resposta
a) Domínio:
. Imagem:
.
b) Domínio: . Imagem:
.
b) Domínio: