A prefeitura de determinada localidade decidiu mudar a taxa de fluorização da água que os habitantes usam. No reservatório local, que possui 300 mil metros cúbicos de água, há 2000 kg de flúor. O consumo médio de água na cidade é de 3 mil metros cúbicos por dia e a água utilizada é reposta com fluorização de 100 gramas de flúor por m^3.
(a) Determine a quantidade de flúor no reservatório em um tempo t qualquer.
(b) Determine o que ocorre com a concentração de flúor na água quando t infty.

Passo 1

A questão fala de um reservatório de água de volume constante com 300
000 m³ e massa inicial de flúor Q(0)=2000 kg. Como entra e sai água à razão de 3000 m³/dia, mas a água de reposição vem com 0,1 kg de flúor por m³, o problema é de mistura e leva a uma equação diferencial para Q(t).

Passo 2

A massa de flúor muda por duas taxas: entra flúor a 0,1 kg/m³·3000 m³/dia = 300 kg/dia; sai flúor na concentração instantânea Q(t)/300 000 (kg/m³) vezes 3000 m³/dia. Logo
Q'(t)=300-3000300000,Q(t)=300-tfrac1100,Q(t)

Passo 3

Essa é uma EDO linear: coeficiente de decaimento k=1/100. A solução geral é Q(t)=Q_{eq}+(Q(0)-Q_{eq})e^{-kt}, onde Q_{eq}=\frac{300}{1/100}=30000 kg. Portanto
Q(t)=30000-28000,e^-t/100

Passo 4

A concentração é Q(t)/300000. Quando t→∞, e^{-t/100}→0, então Q(t)→30000 kg e a concentração tende a 30000/300000=0,1 kg/m³ (ou 100 g/m³).

Resposta

Q(t)=30000-28000,e^{-t/100} (em kg). À medida que t→∞, a concentração de flúor tende a 0,1 kg/m³ (100 g/m³).

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