Determine o volume do sólido delimitado pela superfície z=1+e^x sen y pelos planos x= pm 1, y=0, y=pi.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o volume do sólido limitado pela superfície z = 1 + e^xsin y e pelos planos x = -1, x = 1, y = 0 e y = pi. O conteúdo envolve cálculo de integrais duplas para volume sob uma superfície, e vamos precisar usar a fórmula do volume como V = integral duplaD f(x,y),dA.

Passo 2

A região projetada D no plano (x,y) é o retângulo (x,y): -1 <= x <= 1,;0 <= y <= pi. Como não há outra face inferior em z, interpretamos que o sólido fica entre a superfície e o plano z=0.

Passo 3

O volume fica dado por
V = integral duplaD l(1 + e^xsin yr),dA = integralx=-1^1 integraly=0^pi l(1 + e^xsin yr),dy,dx

Passo 4

Vamos separar a integral interna em duas partes:
integraly=0^pi l(1 + e^xsin yr),dy = integral0^pi1,dy + e^xintegral0^pisin y,dy

Passo 5

Sabendo que integral0^pi1,dy = pi e integral0^pisin y,dy = 2, temos
integraly=0^pi l(1 + e^xsin yr),dy = pi + 2e^x

Passo 6

Agora substituímos na integral em x:
V = integral-1^1 l(pi + 2e^xr),dx = piintegral-1^11,dx + 2integral-1^1e^x,dx

Passo 7

Calculando cada parte: integral-1^11,dx = 2 e integral-1^1e^x,dx = e - e^-1. Então
V = picdot2 + 2l(e - e^-1r) = 2pi + 2e - 2e^-1

Resposta

V = 2pi + 2e - 2e^-1.

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