Continuidade de funçāes - 2,0 pontos) Prove que a funçāo
f(x)=ll (x+1)^2, & se x<2 3, & se x=2 (3 x-3)^2 & se x>2
é descontínua em x=2. Entāo determine se a descontinuidade é removivel ou essencial. Se a descontinuidade for removivel, redefina f(x) para que seja contínua.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre continuidade de funções! A gente tem uma função definida por partes e precisa mostrar que ela é descontínua em x = 2 . Além disso, vamos descobrir se essa descontinuidade é removível ou essencial. Se for removível, a gente também vai ajustar a função para que ela fique contínua. Para isso, vamos precisar entender o que significa continuidade e descontinuidade em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função f(x) é contínua em x = a se três condições forem atendidas:
  1. f(a) está definida.
  2. O limite de f(x) quando x se aproxima de a existe.
  3. O limite de f(x) quando x se aproxima de a é igual a f(a) .
Se alguma dessas condições não for atendida, a função tem uma descontinuidade em x = a .

Passo 3

Vamos aplicar isso ao nosso caso, onde a = 2 . Primeiro, vamos verificar se f(2) está definida. Olhando para a função:
f(2) = 3
Então, sim, f(2) está definida.

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite de f(x) quando x se aproxima de 2 pela esquerda ( x to 2^- ) e pela direita ( x to 2^+ ).
Para x < 2 :
f(x) = (x + 1)^2
Então,
limx to 2^- f(x) = limx to 2^- (x + 1)^2 = (2 + 1)^2 = 9
Para x > 2 :
f(x) = (3x - 3)^2
Então,
limx to 2^+ f(x) = limx to 2^+ (3x - 3)^2 = (6 - 3)^2 = 9

Passo 5

Agora vemos que os limites laterais são iguais:
limx to 2^- f(x) = limx to 2^+ f(x) = 9
Então, o limite geral existe e é igual a 9.

Passo 6

Agora, comparamos o limite com o valor da função em x = 2 :
f(2) = 3 neq 9
Como limx to 2 f(x) neq f(2) , a função f(x) é descontínua em x = 2 .

Passo 7

Agora, vamos determinar se a descontinuidade é removível ou essencial. Se o limite existir, mas for diferente do valor da função, a descontinuidade é removível. Isso porque podemos redefinir f(2) para que seja igual ao limite e assim tornar a função contínua.

Passo 8

Como já vimos que:
limx to 2 f(x) = 9
E f(2) = 3 , que é diferente de 9, a descontinuidade é removível. Para remover a descontinuidade, basta redefinir f(2) para ser igual ao limite:
f(2) = 9

Resposta

A função f(x) é descontínua em x = 2 e a descontinuidade é removível. Para torná-la contínua, basta redefinir f(2) = 9 .

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