Continuidade de funçāes - 2,0 pontos) Prove que a funçāo
é descontínua em x=2. Entāo determine se a descontinuidade é removivel ou essencial. Se a descontinuidade for removivel, redefina f(x) para que seja contínua.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre continuidade de funções! A gente tem uma função definida por partes e precisa mostrar que ela é descontínua em x = 2 . Além disso, vamos descobrir se essa descontinuidade é removível ou essencial. Se for removível, a gente também vai ajustar a função para que ela fique contínua. Para isso, vamos precisar entender o que significa continuidade e descontinuidade em um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função f(x) é contínua em x = a se três condições forem atendidas:
f(a) está definida.
O limite de f(x) quando x se aproxima de a existe.
O limite de f(x) quando x se aproxima de a é igual a f(a) .
Se alguma dessas condições não for atendida, a função tem uma descontinuidade em x = a .
Passo 3
Vamos aplicar isso ao nosso caso, onde a = 2 . Primeiro, vamos verificar se f(2) está definida. Olhando para a função:
f(2) = 3
Então, sim, f(2) está definida.
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite de f(x) quando x se aproxima de 2 pela esquerda ( x to 2^- ) e pela direita ( x to 2^+ ).
Para x < 2 :
f(x) = (x + 1)^2
Então,
limx to 2^- f(x) = limx to 2^- (x + 1)^2 = (2 + 1)^2 = 9
Para x > 2 :
f(x) = (3x - 3)^2
Então,
limx to 2^+ f(x) = limx to 2^+ (3x - 3)^2 = (6 - 3)^2 = 9
Passo 5
Agora vemos que os limites laterais são iguais:
limx to 2^- f(x) = limx to 2^+ f(x) = 9
Então, o limite geral existe e é igual a 9.
Passo 6
Agora, comparamos o limite com o valor da função em x = 2 :
f(2) = 3 neq 9
Como limx to 2 f(x) neq f(2) , a função f(x) é descontínua em x = 2 .
Passo 7
Agora, vamos determinar se a descontinuidade é removível ou essencial. Se o limite existir, mas for diferente do valor da função, a descontinuidade é removível. Isso porque podemos redefinir f(2) para que seja igual ao limite e assim tornar a função contínua.
Passo 8
Como já vimos que:
limx to 2 f(x) = 9
E f(2) = 3 , que é diferente de 9, a descontinuidade é removível. Para remover a descontinuidade, basta redefinir f(2) para ser igual ao limite:
f(2) = 9
Resposta
A função f(x) é descontínua em x = 2 e a descontinuidade é removível. Para torná-la contínua, basta redefinir f(2) = 9 .