Sabendo que a matriz do sistema é dada por , possui como autovalores lambda1=5+2 i e lambda2=5-2 i, represente a solução do sistema na forma trigonométrica.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um sistema de equações diferenciais do tipo X' = A X , onde a matriz A é dada por:
A = 6 & -1 5 & 4
Sabemos que os autovalores dessa matriz são lambda1 = 5 + 2i e lambda2 = 5 - 2i . Nosso objetivo é encontrar a solução desse sistema na forma trigonométrica. Para isso, vamos precisar entender como trabalhar com autovalores complexos e usar funções trigonométricas para expressar a solução.
Passo 2
Primeiro, quando temos autovalores complexos como lambda = alpha + beta i , a solução geral do sistema pode ser escrita usando exponenciais complexas. Mas, para deixar mais fácil de interpretar, vamos reescrever essas soluções usando funções trigonométricas (seno e cosseno).
Aqui, alpha = 5 e beta = 2 . A parte real alpha afeta o crescimento ou decrescimento da solução, enquanto a parte imaginária beta está relacionada à oscilação (as funções seno e cosseno).
Passo 3
A solução geral para cada autovalor complexo é dada por:
e^alpha t representa o crescimento (se alpha > 0 ) ou decrescimento (se alpha < 0 ),
cos(beta t) e sin(beta t) são as partes oscilatórias,
C1 e C2 são constantes que dependem das condições iniciais.
Passo 4
Aplicando isso aos nossos autovalores lambda1 = 5 + 2i e lambda2 = 5 - 2i , temos:
X(t) = e^5t ( C1 cos(2t) + C2 sin(2t) )
Essa é a solução do sistema na forma trigonométrica. Ela mostra que as soluções oscilam com frequência 2 e crescem exponencialmente devido ao termo e^5t .