Uma contração brusca em um tubo apresenta diâmetros D 1 e D 2 . Determine os grupos adimensionais do escoamento para a queda de pressão,
, na contração.
Passo 1
O enunciado pede: “Determinar os grupos adimensionais do escoamento para a queda de pressão,
, na contração entre dois diâmetros
e
.”
Informações e escolhas relevantes que o enunciado fornece ou que precisamos assumir (sem pedir nada a você):
- Dados explícitos: os diâmetros
e , e a queda de pressão . - Variáveis físicas que influenciam
em um escoamento interno típico: densidade do fluido , viscosidade dinâmica , e uma medida da velocidade do escoamento (vou usar a velocidade média no trecho de entrada) . (Essas são escolhas padrão para analisar queda de pressão.) - Assumo escoamento incompressível e newtoniano, estacionário, sem efeito de gravidade (ou seja,
desprezível para o problema). Se essas condições mudassem, haveria grupos adimensionais adicionais. - Observação sobre continuidade: para escoamento incompressível a velocidade média na saída
está relacionada a e aos diâmetros por conservação de vazão; assim não é uma variável independente se usamos , e .
Então as variáveis que vamos considerar são:
Passo 2
Qual método vamos usar e por quê (explicadinho como se eu estivesse do teu lado estudando junto)?
- Vou usar o método de análise dimensional (teorema de Buckingham
). A ideia é transformar a relação entre variáveis físicas em funções entre grandezas sem dimensões — isso agrupa efeitos físicos e facilita a generalização. - Conta rápida: número de variáveis
( ). Número de dimensões fundamentais (massa, comprimento, tempo) . Pelo Buckingham, teremos grupos adimensionais independentes. - Objetivo prático: encontrar três
-grupos independentes que descrevem a queda de pressão.
Passo 3
Escolha das variáveis repetidas (explicando o raciocínio):
- Precisamos escolher
variáveis repetidas que contenham todas as dimensões fundamentais entre si e que sejam independentes. Uma escolha natural e conveniente é . -
traz dimensão de massa por volume (M L ), -
traz dimensão de velocidade (L T ), -
traz dimensão de comprimento (L).
-
- Essas três cobrem M, L e T, e não incluem
nem (as variáveis cuja adimensionalização queremos encontrar). - Com essas repetidas vamos formar três
-grupos, um para cada uma das outras variáveis ( ).
Agora vamos construir cada
-grupo por vez, escrevendo o produto da variável alvo pelas repetidas elevadas a expoentes desconhecidos de modo a tornar a combinação adimensional.
Passo 4
Construção de
associado a
(passo a passo das contas):
- Proponho a forma
e imponho que
seja adimensional.
- Escrevo as dimensões (símbolos: M massa, L comprimento, T tempo):
-
, -
, -
, -
.
-
- Produto das dimensões:
- Para ser adimensional, os expoentes de M, L, T devem ser zero. Montamos o sistema:
- Massa:
. - Tempo:
. - Comprimento:
. Substituindo e :
- Massa:
- Logo
- Interpretação física:
é um coeficiente de pressão adimensional — a queda de pressão medida em unidades da “pressão dinâmica” . É exatamente a razão entre e a cabeça dinâmica do escoamento.
Passo 5
Construção de
associado à viscosidade
(novamente detalhado):
- Proponho
- Dimensões:
-
.
-
- Produto dimensional:
- Impor adimensionalidade dá o sistema:
- Massa:
. - Tempo:
. - Comprimento:
. Substituindo :
- Massa:
- Logo
- Observação: esse é o inverso do número de Reynolds. É comum definir o número de Reynolds como
logo
. O
quantifica a razão entre forças inerciais e viscosas no escoamento.
Passo 6
Construção de
associado ao diâmetro de saída
:
- Proponho
- Dimensão de
. Produto dimensional:
- Impor adimensionalidade:
- Massa:
. - Tempo:
. - Comprimento:
. Com : .
- Massa:
- Logo
- Interpretação:
é a razão geométrica entre os diâmetros — o parâmetro geométrico chave da contração. Alternativamente pode-se usar (razão de áreas) se for mais conveniente.
Passo 7
Montagem final da relação funcional adimensional e observações práticas:
- Pelo teorema de Buckingham, os três
-grupos independentes que encontramos descrevem completamente a dependência adimensional do problema:
- Substituindo os grupos:
ou de forma equivalente
- Observações úteis para a prova (resumo prático para decorar):
- Os grupos encontrados são: coeficiente de pressão adimensional
, número de Reynolds , e razão geométrica . - Se o escoamento for fortemente turbulento (Re grande), a dependência de
pode ser fraca e a queda de pressão tende a depender principalmente da razão de diâmetros; em regimes laminares a dependência com é forte. - Pode-se usar a continuidade para expressar
em termos de e : , mas isso não altera os grupos independentes já obtidos.
- Os grupos encontrados são: coeficiente de pressão adimensional