Uma contração brusca em um tubo apresenta diâmetros D 1 e D 2 . Determine os grupos adimensionais do escoamento para a queda de pressão, \Delta \mathrm{p}, na contração.

Passo 1

O enunciado pede: “Determinar os grupos adimensionais do escoamento para a queda de pressão, \Delta p, na contração entre dois diâmetros \,D_1 e \,D_2.”
Informações e escolhas relevantes que o enunciado fornece ou que precisamos assumir (sem pedir nada a você):
  • Dados explícitos: os diâmetros \,D_1 e \,D_2, e a queda de pressão \,\Delta p.
  • Variáveis físicas que influenciam \,\Delta p em um escoamento interno típico: densidade do fluido \,\rho, viscosidade dinâmica \,\mu, e uma medida da velocidade do escoamento (vou usar a velocidade média no trecho de entrada) \,U_1. (Essas são escolhas padrão para analisar queda de pressão.)
  • Assumo escoamento incompressível e newtoniano, estacionário, sem efeito de gravidade (ou seja, \,g desprezível para o problema). Se essas condições mudassem, haveria grupos adimensionais adicionais.
  • Observação sobre continuidade: para escoamento incompressível a velocidade média na saída \,U_2 está relacionada a \,U_1 e aos diâmetros por conservação de vazão; assim \,U_2 não é uma variável independente se usamos \,U_1, \,D_1 e \,D_2.
Então as variáveis que vamos considerar são:
\Delta p,\\ \rho,\\ \mu,\\ U_1,\\ D_1,\\ D_2.

Passo 2

Qual método vamos usar e por quê (explicadinho como se eu estivesse do teu lado estudando junto)?
  • Vou usar o método de análise dimensional (teorema de Buckingham \Pi). A ideia é transformar a relação entre variáveis físicas em funções entre grandezas sem dimensões — isso agrupa efeitos físicos e facilita a generalização.
  • Conta rápida: número de variáveis n=6 ( \Delta p,\rho,\mu,U_1,D_1,D_2). Número de dimensões fundamentais (massa, comprimento, tempo) k=3. Pelo Buckingham, teremos n-k=3 grupos adimensionais independentes.
  • Objetivo prático: encontrar três \Pi-grupos independentes que descrevem a queda de pressão.

Passo 3

Escolha das variáveis repetidas (explicando o raciocínio):
  • Precisamos escolher k=3 variáveis repetidas que contenham todas as dimensões fundamentais entre si e que sejam independentes. Uma escolha natural e conveniente é \rho,\\ U_1,\\ D_1.
    • \rho traz dimensão de massa por volume (M L ^{-3}),
    • U_1 traz dimensão de velocidade (L T ^{-1}),
    • D_1 traz dimensão de comprimento (L).
  • Essas três cobrem M, L e T, e não incluem \Delta p nem D_2 (as variáveis cuja adimensionalização queremos encontrar).
  • Com essas repetidas vamos formar três \Pi-grupos, um para cada uma das outras variáveis ( \Delta p,\\ \mu,\\ D_2).
Agora vamos construir cada \Pi-grupo por vez, escrevendo o produto da variável alvo pelas repetidas elevadas a expoentes desconhecidos de modo a tornar a combinação adimensional.

Passo 4

Construção de \Pi_1 associado a \Delta p (passo a passo das contas):
  • Proponho a forma
\Pi_1=\Delta p\;\rho^{a}\;U_1^{b}\;D_1^{c},
e imponho que \Pi_1 seja adimensional.
  • Escrevo as dimensões (símbolos: M massa, L comprimento, T tempo):
    • [\Delta p]=\mathrm{M\,L^{-1}\,T^{-2}},
    • [\rho]=\mathrm{M\,L^{-3}},
    • [U_1]=\mathrm{L\,T^{-1}},
    • [D_1]=\mathrm{L}.
  • Produto das dimensões:
[\Pi_1]=\mathrm{M^{1+a}\;L^{-1-3a+b+c}\;T^{-2-b}}.
  • Para ser adimensional, os expoentes de M, L, T devem ser zero. Montamos o sistema:
    1. Massa: 1+a=0 \Rightarrow a=-1.
    2. Tempo: -2-b=0 \Rightarrow b=-2.
    3. Comprimento: -1-3a+b+c=0. Substituindo a=-1 e b=-2:
      -1-3(-1)+(-2)+c=0 \Rightarrow -1+3-2+c=0 \Rightarrow 0+c=0 \Rightarrow c=0.
  • Logo
\Pi_1=\Delta p\;\rho^{-1}\;U_1^{-2}\;D_1^{0}=\frac{\Delta p}{\rho\,U_1^{2}}.
  • Interpretação física: \Pi_1 é um coeficiente de pressão adimensional — a queda de pressão medida em unidades da “pressão dinâmica” \rho U_1^2. É exatamente a razão entre \Delta p e a cabeça dinâmica do escoamento.

Passo 5

Construção de \Pi_2 associado à viscosidade \mu (novamente detalhado):
  • Proponho
\Pi_2=\mu\;\rho^{a}\;U_1^{b}\;D_1^{c}.
  • Dimensões:
    • [\mu]=\mathrm{M\,L^{-1}\,T^{-1}}.
  • Produto dimensional:
[\Pi_2]=\mathrm{M^{1+a}\;L^{-1-3a+b+c}\;T^{-1-b}}.
  • Impor adimensionalidade dá o sistema:
    1. Massa: 1+a=0 \Rightarrow a=-1.
    2. Tempo: -1-b=0 \Rightarrow b=-1.
    3. Comprimento: -1-3a+b+c=0. Substituindo a=-1,b=-1:
      -1-3(-1)+(-1)+c=0 \Rightarrow -1+3-1+c=0 \Rightarrow 1+c=0 \Rightarrow c=-1.
  • Logo
\Pi_2=\mu\;\rho^{-1}\;U_1^{-1}\;D_1^{-1}=\frac{\mu}{\rho\,U_1\,D_1}.
  • Observação: esse é o inverso do número de Reynolds. É comum definir o número de Reynolds como
\mathrm{Re}=\frac{\rho\,U_1\,D_1}{\mu},
logo \Pi_2=1/\mathrm{Re}. O \mathrm{Re} quantifica a razão entre forças inerciais e viscosas no escoamento.

Passo 6

Construção de \Pi_3 associado ao diâmetro de saída \,D_2:
  • Proponho
\Pi_3=D_2\;\rho^{a}\;U_1^{b}\;D_1^{c}.
  • Dimensão de [D_2]=\mathrm{L}. Produto dimensional:
[\Pi_3]=\mathrm{M^{a}\;L^{1-3a+b+c}\;T^{-b}}.
  • Impor adimensionalidade:
    1. Massa: a=0.
    2. Tempo: -b=0 \Rightarrow b=0.
    3. Comprimento: 1-3a+b+c=0. Com a=0,b=0: 1+c=0 \Rightarrow c=-1.
  • Logo
\Pi_3=D_2\;D_1^{-1}=\frac{D_2}{D_1}.
  • Interpretação: \Pi_3 é a razão geométrica entre os diâmetros — o parâmetro geométrico chave da contração. Alternativamente pode-se usar (D_2/D_1)^2 (razão de áreas) se for mais conveniente.

Passo 7

Montagem final da relação funcional adimensional e observações práticas:
  • Pelo teorema de Buckingham, os três \Pi-grupos independentes que encontramos descrevem completamente a dependência adimensional do problema:
\Pi_1 = f(\Pi_2,\Pi_3).
  • Substituindo os grupos:
\frac{\Delta p}{\rho\,U_1^{2}} = f\!\left(\frac{\rho\,U_1\,D_1}{\mu},\\ \frac{D_2}{D_1}\right),
ou de forma equivalente
\frac{\Delta p}{\rho\,U_1^{2}} = f\!\big(\mathrm{Re},\\ D_2/D_1\big).
  • Observações úteis para a prova (resumo prático para decorar):
    • Os grupos encontrados são: coeficiente de pressão adimensional \Delta p/(\rho U_1^2), número de Reynolds \mathrm{Re}=\rho U_1 D_1/\mu, e razão geométrica D_2/D_1.
    • Se o escoamento for fortemente turbulento (Re grande), a dependência de \mathrm{Re} pode ser fraca e a queda de pressão tende a depender principalmente da razão de diâmetros; em regimes laminares a dependência com \mathrm{Re} é forte.
    • Pode-se usar a continuidade para expressar U_2 em termos de U_1 e D_2/D_1: U_2=U_1\,(D_1/D_2)^2, mas isso não altera os grupos independentes já obtidos.

Resposta

\displaystyle \Pi_1=\frac{\Delta p}{\rho\,U_1^{2}}
\displaystyle \Pi_2=\mathrm{Re}=\frac{\rho\,U_1\,D_1}{\mu}
\displaystyle \Pi_3=\frac{D_2}{D_1}

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