Um poço com diâmetro de 200 mm foi perfurado e bombeado a uma vazão constante de 130 \mathrm{~L} / \mathrm{min}. Após 6 horas de bombeamento o abaixamento no poço foi de 0,95 \mathrm{~m}; depois de 48 horas foi de 1,10 \mathrm{~m}. O poço penetra em um aquífero freático cuja espessura média é de 9,5 \mathrm{~m}. Calcular:
a) o coeficiente de transmissibilidade;
b) o coeficiente de armazenamento; e
c) o tempo necessário para que o abaixamento atinja 1,2 \mathrm{~m}.

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações e pede 3 coisas.
Dados:
  • Vazão de bombeamento: \;Q=130\\ \mathrm{L/min}.
  • Diâmetro do poço: \;200\\ \mathrm{mm}.
  • Abaixamento no poço após \;6\\ \mathrm{h}: \;s_1=0,95\\ \mathrm{m}.
  • Abaixamento no poço após \;48\\ \mathrm{h}: \;s_2=1,10\\ \mathrm{m}.
  • Espessura média do aquífero freático: \;b=9,5\\ \mathrm{m}.
Observações de conversão (vou usar unidades SI):
  • \;Q=130\\ \mathrm{L/min}=0,130\\ \mathrm{m^3/min} = \dfrac{0,130}{60}\\ \mathrm{m^3/s} = 0,0021666667\\ \mathrm{m^3/s}.
  • Raio do poço (peguei do diâmetro dado): \;r=\dfrac{200\\ \mathrm{mm}}{2}=100\\ \mathrm{mm}=0,1\\ \mathrm{m}.
  • Tempos: \;t_1=6\\ \mathrm{h}=21600\\ \mathrm{s},\quad t_2=48\\ \mathrm{h}=172800\\ \mathrm{s}.
O que é pedido:
a) o coeficiente de transmissibilidade (transmissivity) \;T do aquífero;
b) o coeficiente de armazenamento (storage coefficient) \;S;
c) o tempo necessário para que o abaixamento atinja \;1,2\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Escolha do método e teoria necessária (explicação didática):
  • Quando se bombeia de um poço em um aquífero homogêneo, o abaixamento no poço em função do tempo pode ser descrito pela solução de Theis para aquifer confinado. Para tempos suficientemente grandes (ou para valores pequenos de u, ver abaixo), a função de Theis pode ser aproximada por uma forma logarítmica conhecida como aproximação de Cooper–Jacob. Essa aproximação simplifica muito os cálculos e é amplamente usada na prática.
  • Fórmula de Cooper–Jacob (forma útil):
s(t)=\frac{Q}{4\pi T}\left[\ln\!\left(\frac{2{,}25\,T\,t}{r^{2}S}\right)\right],
onde:
  • \;s(t) é o abaixamento (m) ao tempo \;t,
  • \;Q é a vazão (m^3/s),
  • \;T é a transmissibilidade (m^2/s),
  • \;r é a distância radial do poço até o ponto de observação (m) — aqui usamos o raio do próprio poço \;r=0,1\\ \mathrm{m} porque o abaixamento foi medido no poço,
  • \;S é o coeficiente de armazenamento (adimensional),
  • \;\ln é o logaritmo natural.
  • Importante: a diferença de abaixamentos em dois tempos elimina S e dá uma expressão simples para T. Subtraindo s(t_1) de s(t_2) obtemos:
s_2-s_1=\frac{Q}{4\pi T}\ln\!\left(\frac{t_2}{t_1}\right).
Essa expressão será usada para obter T diretamente.
  • Validade da aproximação: a aproximação de Cooper–Jacob requer que o parâmetro
u=\frac{r^{2}S}{4Tt}
seja pequeno (tipicamente u\ll 1). Após encontrar T e uma estimativa de S verificaremos que u nas observações é de fato muito pequeno, justificando o uso.

Passo 3

Cálculo do coeficiente de transmissibilidade \;T usando a diferença dos abaixamentos:
Partimos de
s_2-s_1=\frac{Q}{4\pi T}\ln\!\left(\frac{t_2}{t_1}\right).
Isolando \;T:
T=\frac{Q}{4\pi\,(s_2-s_1)}\ln\!\left(\frac{t_2}{t_1}\right).
Substituindo números (expressos em SI):
  • \;Q=0,0021666667\\ \mathrm{m^3/s},
  • \;s_2-s_1=1{,}10-0{,}95=0{,}15\\ \mathrm{m},
  • \;t_2/t_1=48/6=8 e \;\ln(8)=2{,}079441542.
Então
T=\frac{0{,}0021666667\cdot 2{,}079441542}{4\pi\cdot 0{,}15}.
Cálculo numérico:
  • Denominador: 4\pi\cdot 0{,}15 \approx 1{,}88495559.
  • Numerador: 0{,}0021666667\cdot 2{,}079441542 \approx 0{,}004504324.
Logo
T\approx\frac{0{,}004504324}{1{,}88495559}\approx 0{,}0023899\\ \mathrm{m^2/s}.
É comum também dar T em \mathrm{m^2/d}:
T\\ (\mathrm{m^2/d}) = 0{,}0023899\cdot 86400 \approx 206{,}5\\ \mathrm{m^2/d}.

Passo 4

Cálculo do coeficiente de armazenamento \;S usando a expressão de Cooper–Jacob reescrita para S.
Da fórmula
s=\frac{Q}{4\pi T}\ln\!\left(\frac{2{,}25\,T\,t}{r^{2}S}\right),
isolamos \;S:
\ln\!\left(\frac{2{,}25\,T\,t}{r^{2}S}\right)=\frac{4\pi T s}{Q} \quad\Rightarrow\quad \frac{2{,}25\,T\,t}{r^{2}S}=\exp\!\left(\frac{4\pi T s}{Q}\right).
Assim
S=\frac{2{,}25\,T\,t}{r^{2}}\exp\!\left(-\frac{4\pi T s}{Q}\right).
Podemos usar qualquer par (t_i,s_i); uso o primeiro par (t_1=21600\\ \mathrm{s},\\ s_1=0{,}95\\ \mathrm{m}).
Substituições:
  • \;T=0{,}0023899\\ \mathrm{m^2/s},
  • \;t_1=21600\\ \mathrm{s},
  • \;r^2=(0{,}1)^2=0{,}01\\ \mathrm{m^2},
  • \;s_1=0{,}95\\ \mathrm{m},
  • \;Q=0{,}0021666667\\ \mathrm{m^3/s}.
Cálculo passo a passo:
  • Primeiro calcule \dfrac{4\pi T s_1}{Q}: \frac{4\pi T s_1}{Q}\approx \frac{4\pi\cdot 0{,}0023899\cdot 0{,}95}{0{,}0021666667}\approx 13{,}1665.
  • Então \exp\!\left(-\dfrac{4\pi T s_1}{Q}\right)=e^{-13{,}1665}\approx 1{,}893\times 10^{-6}.
  • Agora \dfrac{2{,}25\,T\,t_1}{r^{2}}=\dfrac{2{,}25\cdot 0{,}0023899\cdot 21600}{0{,}01}.
    • Multiplicando: 0{,}0023899\cdot 21600\approx 51{,}662.
    • Então 2{,}25\cdot 51{,}662 \approx 116{,}2345.
    • Dividindo por 0{,}01 já foi considerado acima; cuidado: a expressão já tinha r^2 no denominador, então o valor final dessa fração é 116{,}2345 (unidade sem erro).
  • Finalmente S \approx 116{,}2345\times 1{,}893\times 10^{-6}\approx 0{,}0222.
Checando com o outro par (t_2,s_2) obtém-se valor muito próximo (consistência da aproximação). Portanto
S\approx 0{,}0222\quad\text{(adimensional)}.
Isso é razoável para um aquífero freático (valor compatível com um rendimento específico moderado).
Também verifico a validade da aproximação (parâmetro u):
u=\frac{r^{2}S}{4Tt_1}=\frac{0{,}01\cdot 0{,}0222}{4\cdot 0{,}0023899\cdot 21600}\approx 1\times 10^{-6}\ll 1,
logo a aproximação de Cooper–Jacob é válida.

Passo 5

Tempo necessário para que o abaixamento atinja \;s=1{,}2\\ \mathrm{m}.
Partimos da expressão de Cooper–Jacob e isolamos t:
s=\frac{Q}{4\pi T}\ln\!\left(\frac{2{,}25\,T\,t}{r^{2}S}\right) \quad\Rightarrow\quad \ln\!\left(\frac{2{,}25\,T\,t}{r^{2}S}\right)=\frac{4\pi T s}{Q}
\Rightarrow\quad t=\frac{r^{2}S}{2{,}25\,T}\exp\!\left(\frac{4\pi T s}{Q}\right).
Substituindo:
  • \;s=1{,}2\\ \mathrm{m},
  • mantemos \;T=0{,}0023899\\ \mathrm{m^2/s}, \;S=0{,}0222, \;r^2=0{,}01, \;Q=0{,}0021666667\\ \mathrm{m^3/s}.
Calcule o expoente:
\frac{4\pi T s}{Q}\approx \frac{4\pi\cdot 0{,}0023899\cdot 1{,}2}{0{,}0021666667}\approx 16{,}6351,
\exp(16{,}6351)\approx 1{,}677\times 10^{7}.
Prefator:
\frac{r^{2}S}{2{,}25\,T}=\frac{0{,}01\cdot 0{,}0222}{2{,}25\cdot 0{,}0023899}\approx 0{,}04126.
Portanto
t\approx 0{,}04126\times 1{,}677\times 10^{7}\\ \mathrm{s}\approx 692{,}000\\ \mathrm{s}.
Converter para horas e dias:
t\approx \frac{692{,}000}{3600}\\ \mathrm{h}\approx 192{,}2\\ \mathrm{h}\approx 8{,}01\\ \mathrm{dias}.
Então o tempo necessário para s=1{,}2\\ \mathrm{m} é aproximadamente 192\\ \mathrm{h} (cerca de 8 dias).

Resposta

(a) T\approx 0{,}00239\\ \mathrm{m^{2}/s}\approx 206{,}5\\ \mathrm{m^{2}/d}
(b) S\approx 0{,}0222
(c) t\approx 192{,}2\\ \mathrm{h}\\ (\approx 8{,}01\\ \mathrm{dias})

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