Um poço com diâmetro de 200 mm foi perfurado e bombeado a uma vazão constante de
. Após 6 horas de bombeamento o abaixamento no poço foi de
; depois de 48 horas foi de
. O poço penetra em um aquífero freático cuja espessura média é de
. Calcular:
a) o coeficiente de transmissibilidade;
b) o coeficiente de armazenamento; e
c) o tempo necessário para que o abaixamento atinja
.
a) o coeficiente de transmissibilidade;
b) o coeficiente de armazenamento; e
c) o tempo necessário para que o abaixamento atinja
Passo 1
O enunciado fornece as seguintes informações e pede 3 coisas.
Dados:
- Vazão de bombeamento:
. - Diâmetro do poço:
. - Abaixamento no poço após
: . - Abaixamento no poço após
: . - Espessura média do aquífero freático:
.
Observações de conversão (vou usar unidades SI):
-
- Raio do poço (peguei do diâmetro dado):
- Tempos:
O que é pedido:
a) o coeficiente de transmissibilidade (transmissivity) do aquífero;
b) o coeficiente de armazenamento (storage coefficient) ;
c) o tempo necessário para que o abaixamento atinja .
a) o coeficiente de transmissibilidade (transmissivity)
b) o coeficiente de armazenamento (storage coefficient)
c) o tempo necessário para que o abaixamento atinja
Passo 2
Escolha do método e teoria necessária (explicação didática):
-
Quando se bombeia de um poço em um aquífero homogêneo, o abaixamento no poço em função do tempo pode ser descrito pela solução de Theis para aquifer confinado. Para tempos suficientemente grandes (ou para valores pequenos de
, ver abaixo), a função de Theis pode ser aproximada por uma forma logarítmica conhecida como aproximação de Cooper–Jacob. Essa aproximação simplifica muito os cálculos e é amplamente usada na prática. -
Fórmula de Cooper–Jacob (forma útil):
onde:
-
é o abaixamento (m) ao tempo , -
é a vazão (m^3/s), -
é a transmissibilidade (m^2/s), -
é a distância radial do poço até o ponto de observação (m) — aqui usamos o raio do próprio poço porque o abaixamento foi medido no poço, -
é o coeficiente de armazenamento (adimensional), -
é o logaritmo natural. -
Importante: a diferença de abaixamentos em dois tempos elimina
e dá uma expressão simples para . Subtraindo de obtemos:
Essa expressão será usada para obter
diretamente.
- Validade da aproximação: a aproximação de Cooper–Jacob requer que o parâmetro
seja pequeno (tipicamente
). Após encontrar
e uma estimativa de
verificaremos que
nas observações é de fato muito pequeno, justificando o uso.
Passo 3
Cálculo do coeficiente de transmissibilidade
usando a diferença dos abaixamentos:
Partimos de
Isolando
:
Substituindo números (expressos em SI):
-
, -
, -
e .
Então
Cálculo numérico:
- Denominador:
- Numerador:
Logo
É comum também dar
em
:
Passo 4
Cálculo do coeficiente de armazenamento
usando a expressão de Cooper–Jacob reescrita para
.
Da fórmula
isolamos
:
Assim
Podemos usar qualquer par
; uso o primeiro par
.
Substituições:
-
, -
, -
, -
, -
Cálculo passo a passo:
- Primeiro calcule
: - Então
- Agora
. - Multiplicando:
. - Então
. - Dividindo por
já foi considerado acima; cuidado: a expressão já tinha no denominador, então o valor final dessa fração é (unidade sem erro).
- Multiplicando:
- Finalmente
Checando com o outro par
obtém-se valor muito próximo (consistência da aproximação). Portanto
Isso é razoável para um aquífero freático (valor compatível com um rendimento específico moderado).
Também verifico a validade da aproximação (parâmetro
):
logo a aproximação de Cooper–Jacob é válida.
Passo 5
Tempo necessário para que o abaixamento atinja
.
Partimos da expressão de Cooper–Jacob e isolamos
:
Substituindo:
-
, - mantemos
, , , .
Calcule o expoente:
Prefator:
Portanto
Converter para horas e dias:
Então o tempo necessário para
é aproximadamente
(cerca de
dias).
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)