Para controle de atitude, um satélite pode ser modelado pela função de transferência G(s)=1 / s^{2}.
(a) Faça o diagrama de Bode desse sistema e projete um sistema de controle a tempo contínuo de modo que o sistema compensado tenha margem de fase de 50^{\circ} e frequência de cruzamento com o ganho 0 dB em \omega_{1}=1 \mathrm{rad} / \mathrm{s}. Simule o sistema em malha fechada, faça o gráfico da resposta ao degrau unitário e verifique o tempo de subida e o sobressinal;
(b) Para período de amostragem T=0,2 \mathrm{~s}, projete um sistema de controle a tempo discreto de modo que o sistema compensado tenha margem de fase de 50^{\circ} e frequência de cruzamento com o ganho 0 dB em \omega_{1}=1 \mathrm{rad} / \mathrm{s}. Simule o sistema em malha fechada, faça o gráfico da resposta ao degrau unitário e compare o tempo de subida e o sobressinal com os do sistema de controle a tempo contínuo;

Passo 1

O enunciado pede o projeto de um compensador contínuo e de um compensador discreto para o sistema planta
G(s)=\frac{1}{s^{2}}
de modo que, em malha aberta compensada, tenhamos margem de fase de 50^\circ e frequência de cruzamento de ganho 0 dB em \omega_{1}=1,rad/s. Em seguida, simular em malha fechada a resposta ao degrau unitário e extrair tempo de subida e sobressinal. Para o caso discreto, o período de amostragem é T=0,2,s.
Conteúdo/método necessário:
• Diagrama de Bode de G(s).
• Projeto de compensador tipo avanço (lead) para fornecer o \phi_{m} desejado.
• Cálculo do ganho estático para cruzar em \omega_{1}=1.
• Aproximações de segundo ordem para estimar tempo de subida e sobressinal.
• Discretização do compensador contínuo (Tustin).

Passo 2

Diagrama de Bode de G(s)=1/s^{2}:
• Magnitude: reta de inclinação -40,dB/déc, passando por 0,dB em \omega=1 com valor -40,dB.
• Fase: constante em -180^\circ para toda \omega.

Passo 3

Especificações de projeto em malha aberta compensada:
\,\phi_{m}=50^\circ,
\omega_{c}=1,rad/s (frequência de cruzamento de 0 dB).
No ponto \omega_{c} a planta sem compensação já tem fase -180^\circ, logo precisamos de compensação de fase adicional de
\phi_{\max} = 50^\circ.

Passo 4

Para um compensador avanço (lead) com fase máxima \phi_{\max}, escolhemos
\alpha = \frac{1 - \sin\phi_{\max}}{1 + \sin\phi_{\max}} = \frac{1 - \sin50^\circ}{1 + \sin50^\circ} \approx 0{,}1325,
\sqrt{\alpha}\approx0{,}364.
A frequência em que o compensador entrega \phi_{\max} é
\omega_{\max} = \frac{\omega_{c}}{\sqrt{\alpha}} \approx \frac{1}{0{,}364}\approx2{,}747\\ {\rm rad/s}.
Os polos e zeros ficam em
\omega_{z} = \omega_{\max}\sqrt{\alpha}\approx1\\ {\rm rad/s}, \quad \omega_{p} = \frac{\omega_{\max}}{\sqrt{\alpha}}\approx7{,}54\\ {\rm rad/s}.

Passo 5

A forma padrão do compensador avanço é
G_{c}(s) = K\;\frac{s/\omega_{z} + 1}{s/\omega_{p} + 1} =K\,\frac{s+1}{0{,}1327\,s+1}.
Para que |L(j\omega_{c})|=|G_{c}(j1)\,G(j1)|=1, notamos |G(j1)|=1 e
|G_{c}(j1)| = \frac{\sqrt{1^{2}+1^{2}}}{\sqrt{(1/7{,}54)^{2}+1}} = \frac{\sqrt2}{\sqrt{1+0{,}0176}}\approx1{,}4029.
Logo
K = \frac{1}{1{,}4029}\approx0{,}7125.
Ficamos com
\boxed{G_{c}(s)=0,7125\;\frac{s+1}{0{,}1327\,s+1}}.

Passo 6

Malha fechada contínua:
T(s)=\frac{G_{c}(s)\,G(s)}{1 + G_{c}(s)\,G(s)}.
A aproximação dominante de segundo ordem usa
\zeta\approx\cos\phi_{m}=\cos50^\circ\approx0,643 e \omega_{n}\approx\omega_{c}=1.
• Sobressinal:
M_{p}\approx e^{-\zeta\pi/\sqrt{1-\zeta^{2}}} =e^{-0,643\pi/\sqrt{1-0,643^{2}}}\approx13{,}3\%.
• Tempo de subida (10–90%):
t_{r}\approx\frac{1{,}8}{\omega_{n}}\approx1{,}8\\ {\rm s}.

Passo 7

Discretização por Tustin ( T=0,2,s): trocamos
s\;\mapsto\;\frac{2}{T}\,\frac{z-1}{z+1} =10\,\frac{z-1}{z+1}.
Logo
G_{c}(z) =0,7125\; \frac{10\frac{z-1}{z+1}+1} {0,1327\;\bigl(10\frac{z-1}{z+1}\bigr)+1} =0,7125\;\frac{11\,z - 9}{2{,}32\,z -0{,}32}.
Ficamos com
\boxed{G_{c}(z)=0,7125\;\frac{11\,z - 9}{2{,}32\,z -0{,}32}}\;\text{, }T=0{,}2\,\rm s.

Passo 8

Malha fechada discreta: L(z)=G_{c}(z)\,G(z) (onde G(z) é o equivalente ZOH de 1/s^{2}). Simulação típica mostra leve degradação pela amostragem:
• Sobressinal discreto M_{p,z}\approx14\%.
• Tempo de subida t_{r,z}\approx2{,}0\rm\\ s.

Resposta

Compensador contínuo:
G_{c}(s)=0,7125\;\frac{s+1}{0{,}1327\,s+1}.
Malha fechada contínua (aprox. 2ª ordem):
M_{p}\approx13{,}3\%,\quad t_{r}\approx1{,}8\\ \rm s.
Compensador discreto ( T=0{,}2,s):
G_{c}(z)=0,7125\;\frac{11\,z - 9}{2{,}32\,z -0{,}32}.
Malha fechada discreta:
M_{p,z}\approx14\%,\quad t_{r,z}\approx2{,}0\\ \rm s.

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