Questão 13 - Diga se é suficiente se analisar o valor da máxima sensibilidade para se concluir se o laço é ou não estável em malha fechada. Qual é a interpretação que você dá à Máxima Sensibilidade? Analise se as outras métricas de robustez são suficientes para se determinar a estabilidade da malha fechada? Justifique a sua resposta. (5 P)

Passo 1

O enunciado pergunta se basta analisar a máxima sensibilidade para afirmar que um sistema em malha fechada é estável, pede uma interpretação física dessa métrica e quer saber se outras métricas de robustez (por exemplo, margens de ganho e fase, valores singulares, \mu-análise etc.) são suficientes para determinar estabilidade em malha fechada.

Passo 2

Definimos a função sensibilidade em frequência como
S(j\omega) = \frac{1}{1 + L(j\omega)},
onde L(j\omega) é a função de laço aberto. A máxima sensibilidade é
M_s = \max_{\omega} \bigl|S(j\omega)\bigr|.
Ela mede a maior amplificação de perturbações ou incertezas aditivas que o controle pode deixar passar.

Passo 3

Interpretação de M_s:
  1. Se M_s é baixo (por exemplo M_s < 2), o sistema rejeita bem perturbações de planta e ruído, pois jamais amplifica forças externas em mais de um fator M_s.
  2. Se M_s cresce demais, indicamos pouca margem de estabilidade e maior sensibilidade a erros de modelagem, pois uma pequena mudança em L pode levar 1+L a encostar em zero, comprometendo a estabilidade.

Passo 4

Sobre a suficiência de usar apenas M_s para decidir estabilidade:
  • Não é suficiente. O fato de M_s ser finito não garante que 1 + L(j\omega)\neq 0 para todas as frequências; afinal, M_s só diz quão grande é \bigl|S(j\omega)\bigr|, não garante que o denominador nunca zere (estabilidade nominal).
  • Antes de olhar para M_s, é preciso verificar condições nominais de estabilidade: por exemplo, critério de Nyquist ou polos de malha fechada todos no semiplano esquerdo.

Passo 5

Análise de outras métricas de robustez:
  • Margem de ganho e fase: indicam distância até a instabilidade em laço aberto. São úteis mas só fornecem garantias locais (pequenas variações).
  • Valores singulares ( \sigma-margens) e \mu-análise: cobrem incertezas múltiplas e acoplamentos. A \mu-análise fornece condições necessárias e suficientes (para incertezas estruturadas) de robustez estática mas é mais complexa.
  • Em geral, nenhuma métrica isolada é “mágica” para assegurar estabilidade em todos os cenários; devem ser combinadas:
    1. Confirmação de estabilidade nominal (pólos).
    2. Margens de ganho/fase ou picos de sensibilidade para incertezas não estruturadas.
    3. \mu-análise ou margens de valor singular para incertezas estruturadas.

Resposta

Não, não basta analisar apenas a máxima sensibilidade M_s para concluir que a malha fechada é estável, pois M_s informa o pior ganho de perturbação mas não garante que 1+L(j\omega) nunca zere (estabilidade nominal). A máxima sensibilidade representa o pico de amplificação de incertezas ou ruídos pelo laço fechado. Outras métricas — margens de ganho e fase, valores singulares, análise \mu — contribuem para avaliar robustez, mas também não devem ser usadas isoladamente: primeiro confirma-se a estabilidade nominal (por Nyquist ou polos), depois usa-se M_s, margens e \mu para assegurar robustez contra incertezas.

Exercícios relacionados