Plotar os seguintes sinais:
x(n)=\sum_{k=0}^{\infty} 1(n-k N), n \in Z com N \in Z_{+}(fixo)

Passo 1

O enunciado define o sinal discreto
x(n)=\sum_{k=0}^{\infty}1\bigl(n-kN\bigr),
onde 1(n) é a função degrau unitário em tempo discreto (ou seja, 1(n)=1 para n\ge0 e 1(n)=0 para n<0), e N\in\mathbb{Z}_{+} é um parâmetro fixo. Queremos encontrar uma expressão fechada para x(n) e em seguida esboçar seu gráfico em função de n.

Passo 2

Para cada termo da soma,
1\bigl(n-kN\bigr)= \begin{cases} 1,&\text{se }n-kN\ge0,\\\\ 0,&\text{se }n-kN<0. \end{cases}
A condição n-kN\ge0 equivale a
k\le\frac{n}{N}.
Como k varia em \{0,1,2,\dots\}, para um dado n só contribuem da soma aqueles k inteiros tais que
0\le k\le\Bigl\lfloor\frac{n}{N}\Bigr\rfloor.

Passo 3

Para n<0 não existe inteiro k\ge0 satisfazendo k\le n/N, logo
x(n)=0,\quad n<0.
Para n\ge0, os valores de k que entram na soma vão de 0 até \lfloor n/N\rfloor, totalizando
\bigl\lfloor\tfrac{n}{N}\bigr\rfloor+1
termos iguais a 1. Portanto
x(n)=\sum_{k=0}^{\infty}1(n-kN) =\begin{cases} \displaystyle \Bigl\lfloor\tfrac{n}{N}\Bigr\rfloor+1,&n\ge0,\\\\ 0,&n<0. \end{cases}

Passo 4

A expressão obtida mostra que x(n) é um sinal degrau em escada: começa com valor 1 de n=0 até n=N-1, depois sobe para 2 no intervalo N\le n<2N, em seguida para 3 no intervalo 2N\le n<3N, e assim por diante. Para ilustrar, se escolhermos N=3, teríamos
x(n)=\{\,1,1,1,\,2,2,2,\,3,3,3,\dots\}
para n=0,1,2,3,4,5,6,7,8,\dots, e x(n)=0 para n<0.

Passo 5

Esboço geral do gráfico de x(n):
Para n<0: x(n)=0 (círculos em zero).
Para 0\le n<N: x(n)=1.
Para N\le n<2N: x(n)=2.
Para 2N\le n<3N: x(n)=3.
E assim sucessivamente, com blocos de largura N e degraus unitários.

Resposta

x(n)= \begin{cases} \displaystyle \Bigl\lfloor\tfrac{n}{N}\Bigr\rfloor+1,&n\ge0,\\\\ 0,&n<0, \end{cases}
que se plota como uma escada de degraus de largura N e altura crescente de 1 em 1.

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