- (Controle de Eficiência Energética) Uma empresa monitora o consumo de energia de um equipamento industrial, cuja potência é descrita por
onde
é a potência em watts, e
é o tempo em horas. Sabendo potência deste equipamento diminui ao longo do tempo, explique como a derivada da função
pode ser usada para prever quando o consumo de energia se estabilizará.
Passo 1
O enunciado nos dá a potência de um equipamento industrial como
onde
está em watts e
em horas. O conteúdo aqui é derivada de função exponencial para analisar a taxa de variação de potência ao longo do tempo e usar essa taxa para prever quando o consumo se torna praticamente constante.
Passo 2
Vamos calcular a derivada de
. Como
temos
Passo 3
A derivada
representa a taxa de variação instantânea da potência. Como
vemos que
(potência decresce) e que
decai exponencialmente para zero à medida que
aumenta.
Passo 4
Dizemos que o consumo “se estabiliza” quando a taxa de variação se torna irrelevante, ou seja,
fica abaixo de um pequeno limiar
. Basta resolver
que dá
Assim, para qualquer escolha de
que represente “variação desprezível”, o valor
é o instante a partir do qual o consumo de energia pode ser considerado estabilizado.
Resposta
A derivada é
e, escolhendo um limiar
de variação irrelevante, o instante prático de estabilização satisfaz