1. (Controle de Eficiência Energética) Uma empresa monitora o consumo de energia de um equipamento industrial, cuja potência é descrita por
P(t)=100 e^-0,1 t
onde P(t) é a potência em watts, e t é o tempo em horas. Sabendo potência deste equipamento diminui ao longo do tempo, explique como a derivada da função P(t) pode ser usada para prever quando o consumo de energia se estabilizará.

Passo 1

O enunciado nos dá a potência de um equipamento industrial como
P(t)=100,e^-0,1,t
onde P(t) está em watts e t em horas. O conteúdo aqui é derivada de função exponencial para analisar a taxa de variação de potência ao longo do tempo e usar essa taxa para prever quando o consumo se torna praticamente constante.

Passo 2

Vamos calcular a derivada de P(t). Como
P(t)=100,e^-0,1,t,
temos
P'(t) =ddtl(100,e^-0,1,tr) =100cdot(-0,1),e^-0,1,t =-10,e^-0,1,t

Passo 3

A derivada P'(t) representa a taxa de variação instantânea da potência. Como
P'(t)=-10,e^-0,1,t,
vemos que P'(t)<0 (potência decresce) e que lvert P'(t)rvert=10,e^-0,1,t decai exponencialmente para zero à medida que t aumenta.

Passo 4

Dizemos que o consumo “se estabiliza” quando a taxa de variação se torna irrelevante, ou seja, lvert P'(t)rvert fica abaixo de um pequeno limiar epsilon>0. Basta resolver
10,e^-0,1,t<epsilon
que dá
e^-0,1,t<epsilon10 Longrightarrow -0,1,t<ln!l(tfracepsilon10r) Longrightarrow t>10,ln!l(tfrac10epsilonr)
Assim, para qualquer escolha de epsilon que represente “variação desprezível”, o valor
t^*=10,ln!l(tfrac10epsilonr)
é o instante a partir do qual o consumo de energia pode ser considerado estabilizado.

Resposta

A derivada é
P'(t)=-10,e^-0,1,t
e, escolhendo um limiar epsilon de variação irrelevante, o instante prático de estabilização satisfaz
t>10,ln!l(tfrac10epsilonr)

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