Questão 2.

Resolva cada equação diferencial por variação de parâmetros.
a) y^prime prime+y=sen x
b) y^prime prime+y=sec theta tan (theta)
c) y^prime prime+y=cos ^2 x
d) y^prime prime-4 y=e^2 xx
e) 2 y^prime prime+2 y^prime+y=4 raizx
f) y^prime prime-4 y^prime=e^2 x

Passo 1

O enunciado dá seis EDOs lineares de segunda ordem não-homogêneas (itens a) a f)) e pede para resolvê-las por variação de parâmetros. O conteúdo necessário inclui: (i) achar a solução geral da homogênea em cada caso; (ii) escolher duas soluções independentes
impondo
onde .

Passo 2

Método de variação de parâmetros (caso geral)
Para
sejam
com
Resolve-se esse sistema para , integra-se para achar e se obtém . A solução geral é

Passo 3

a) y''+y=sin x.
Homogênea: yh=C1cos x + C2sin x. Tomamos y1=cos x,;y2=sin x, de modo que W=1. O termo-fonte é r(x)=sin x.
u1'=-y2,rW=-sin xsin x=-sin^2x, u2'=y1,rW=cos xsin x
Integrando,
u1=integral -sin^2x,dx=-x2+sin2x4, u2=integral sin xcos x,dx=sin^2x2
Logo
yp=u1cos x + u2sin x =x2sin x,
e a solução geral é
boxedy=C1cos x + C2sin x + x2sin x

Passo 4

b) y''+y=secthetatantheta.
Homogênea: yh=C1costheta+C2sintheta, escolhemos y1=costheta, y2=sintheta, W=1. Aqui r(theta)=secthetatantheta.
u1'=-sinthetasecthetatantheta=-tan^2theta, u2'=costhetasecthetatantheta=tantheta
Integrando,
u1=-integraltan^2theta,dtheta=,theta-tantheta, u2=integraltantheta,dtheta=-lnl|costhetar|
Logo
yp = u1costheta + u2sintheta =thetacostheta - sintheta - sinthetalnl|costhetar|
Portanto
boxedy=C1costheta+C2sintheta+thetacostheta -sintheta-sinthetalnl|costhetar|

Passo 5

c) y''+y=cos^2x.
Homogênea: yh=C1cos x+C2sin x, y1=cos x, y2=sin x, W=1. Aplicando variação de parâmetros e realizando as integrais (ou usando a identidade cos^2x=tfrac12(1+cos2x)), chega-se a
yp=12 - 16cos2x
Logo
boxedy=C1cos x + C2sin x + 12 - 16cos2x

Passo 6

d) y''-4y=tfrace^2xx.
Homogênea: yh=C1e^2x+C2e^-2x. Tomamos y1=e^2x, y2=e^-2x, então W=-4 e r(x)=e^2x/x.
u1'=-y2,rW =14x, u2'=y1,rW =-e^4x4x
Integrando com a função exponencial integral Ei,
u1=tfrac14ln|x|, u2=-tfrac14,Ei(4x),
de onde
yp=e^2x4ln|x|-e^-2x4,Ei(4x),
e
boxedy=C1e^2x+C2e^-2x +14e^2xln|x|-14e^-2x,Ei(4x)

Passo 7

e) 2y''+2y'+y=4raizx.
Dividindo por 2:
y''+y'+tfrac12y=2raizx
Homogênea: solução geral
yh=e^-x/2l(C1costfracx2+C2sintfracx2r)
Aplicando variação de parâmetros com
;y1=e^-x/2costfracx2,; y2=e^-x/2sintfracx2, obtém-se em forma de integrais impróprias
yp=-4,y1integral y2,e^xraizx,dx +4,y2integral y1,e^xraizx,dx
Logo
boxedy =C1e^-x/2costfracx2 +C2e^-x/2sintfracx2 -4e^-x/2costfracx2!!integral e^x/2sintfracx2raizx,dx +4e^-x/2sintfracx2!!integral e^x/2costfracx2raizx,dx

Passo 8

f) y''-4y'=e^2x.
Homogênea: yh=C1 + C2e^4x. Pelo método da variação de parâmetros (ou fator integrante aplicado à u=y'), chega-se a
boxedy=C1 + C2e^4x - 14,e^2x

Resposta

a) y=C1cos x + C2sin x + tfracx2sin x
b) y=C1costheta+C2sintheta+thetacostheta-sintheta-sinthetaln|costheta|
c) y=C1cos x+C2sin x+tfrac12-tfrac16cos2x
d) y=C1e^2x+C2e^-2x+tfrac14e^2xln|x|-tfrac14e^-2x,Ei(4x)
e) y=C1e^-x/2costfracx2+C2e^-x/2sintfracx2 -4e^-x/2costfracx2!!integral e^x/2sintfracx2raizx,dx +4e^-x/2sintfracx2!!integral e^x/2costfracx2raizx,dx
f) y=C1 + C2e^4x - tfrac14e^2x

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