Resolva cada equação diferencial por variação de parâmetros.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Passo 1
O enunciado dá seis EDOs lineares de segunda ordem não-homogêneas (itens a) a f)) e pede para resolvê-las por variação de parâmetros. O conteúdo necessário inclui: (i) achar a solução geral da homogênea em cada caso; (ii) escolher duas soluções independentes
impondo
onde .
Passo 2
Método de variação de parâmetros (caso geral)
Para
sejam
com
Resolve-se esse sistema para , integra-se para achar e se obtém . A solução geral é
Passo 3
a) .
Homogênea: . Tomamos , de modo que . O termo-fonte é .
c) y''+y=cos^2x.
Homogênea: yh=C1cos x+C2sin x, y1=cos x, y2=sin x, W=1. Aplicando variação de parâmetros e realizando as integrais (ou usando a identidade cos^2x=tfrac12(1+cos2x)), chega-se a
yp=12 - 16cos2x
Logo
boxedy=C1cos x + C2sin x + 12 - 16cos2x
Passo 6
d) y''-4y=tfrace^2xx.
Homogênea: yh=C1e^2x+C2e^-2x. Tomamos y1=e^2x, y2=e^-2x, então W=-4 e r(x)=e^2x/x.
u1'=-y2,rW =14x, u2'=y1,rW =-e^4x4x
Integrando com a função exponencial integral Ei,
u1=tfrac14ln|x|, u2=-tfrac14,Ei(4x),
de onde
yp=e^2x4ln|x|-e^-2x4,Ei(4x),
e
boxedy=C1e^2x+C2e^-2x +14e^2xln|x|-14e^-2x,Ei(4x)
Passo 7
e) 2y''+2y'+y=4raizx.
Dividindo por 2:
y''+y'+tfrac12y=2raizx
Homogênea: solução geral
yh=e^-x/2l(C1costfracx2+C2sintfracx2r)
Aplicando variação de parâmetros com ;y1=e^-x/2costfracx2,; y2=e^-x/2sintfracx2, obtém-se em forma de integrais impróprias
f) y''-4y'=e^2x.
Homogênea: yh=C1 + C2e^4x. Pelo método da variação de parâmetros (ou fator integrante aplicado à u=y'), chega-se a
boxedy=C1 + C2e^4x - 14,e^2x
Resposta
a) y=C1cos x + C2sin x + tfracx2sin x
b) y=C1costheta+C2sintheta+thetacostheta-sintheta-sinthetaln|costheta|
c) y=C1cos x+C2sin x+tfrac12-tfrac16cos2x
d) y=C1e^2x+C2e^-2x+tfrac14e^2xln|x|-tfrac14e^-2x,Ei(4x)
e) y=C1e^-x/2costfracx2+C2e^-x/2sintfracx2 -4e^-x/2costfracx2!!integral e^x/2sintfracx2raizx,dx +4e^-x/2sintfracx2!!integral e^x/2costfracx2raizx,dx
f) y=C1 + C2e^4x - tfrac14e^2x