1. (Segurança em Rampas) Um grupo formado por profissionais da arquitetura e engenharia de um shopping center, necessita projetar uma rampa de acesso para pessoas com mobilidade reduzida. Eles(as) utilizam a seguinte função modeladora
h(x)=0,01 x^3-0,15 x^2+0,8 x
onde h(x) é a altura da rampa em metros, e x é a distância horizontal em metros.
a) A inclinação da rampa é um fator crítico para segurança. Analise o comportamento da inclinação ao longo da rampa e indique se há trechos que podem ser perigosos para os usuários.
b) Explique como a derivada ajuda o grupo a identificar os pontos mais perigosos da rampa e como essas informações podem orientar ajustes no projeto.

Passo 1

O enunciado dá a altura da rampa em função da distância horizontal x por
h(x)=0,01,x^3-0,15,x^2+0,8,x,
e pede para (a) analisar o comportamento da inclinação e indicar trechos perigosos, e (b) explicar como a derivada ajuda a identificar esses pontos e orientar ajustes no projeto. Vamos usar cálculo diferencial: calcular h'(x), estudar seu gráfico e compará-lo a um limite de segurança típico (por exemplo, 8% de inclinação, ou seja 0,08 em termos de taxa).

Passo 2

A inclinação instantânea da rampa é dada pela derivada
h'(x)=ddxl(0,01,x^3-0,15,x^2+0,8,xr) =0,03,x^2-0,30,x+0,80
Em geometria, h'(x) é exatamente a tangente do ângulo de inclinação; quanto maior h'(x), mais íngreme está a rampa.

Passo 3

Estudando h'(x)=0,03x^2-0,30x+0,80:
  1. É uma parábola com coeficiente a=0,03>0, logo abre para cima.
  2. O vértice (mínimo) ocorre em
xv = --0,302cdot0,03 = 5 m,
e
h'(5)=0,03cdot25-0,30cdot5+0,80=0,75-1,50+0,80=0,05;(5%)
  1. Nos extremos (por exemplo x=0 ou para grandes x) temos h'(0)=0,80;(80%) e h'(10)=0,80 de novo, mostrando inclinações muito altas no início e no fim.

Passo 4

Para ver onde ultrapassamos 8% ( 0,08), resolvemos
0,03x^2-0,30x+0,80>0,08 ;Long<=ftrightarrow; 0,03x^2-0,30x+0,72>0 ;Long<=ftrightarrow; x^2-10x+24>0 ;Long<=ftrightarrow; (x-4)(x-6)>0
Isso vale para x<4 ou x>6. Entre x=4 m e x=6 m temos h'(x)<=0,08, trecho dentro do limite de segurança; fora desse intervalo, a inclinação é maior que 8% e, portanto, potencialmente perigosa.

Passo 5

A derivada orienta o projeto pois:
– dá a inclinação exata em cada ponto;
– permite achar mínimos e máximos para saber onde a rampa está mais suave ou mais íngreme;
– comparando h'(x) ao limite de segurança, indica exatamente que trechos reprojetar;
– com essa informação pode-se, por exemplo, alongar a rampa ou alterar a curvatura para que h'(x) nunca supere 0,08.

Resposta

(a) A inclinação h'(x) é máxima nos extremos e mínima em x=5 m. Se adotarmos 8% como limite seguro, os trechos perigosos são 0<= x<4 m e x>6 m, pois aí h'(x)>0,08.
(b) A derivada h'(x) mede a taxa de variação da altura, ou seja, a inclinação instantânea. Identificando onde h'(x) ultrapassa o limite de segurança, o time sabe exatamente em quais intervalos reduzir a inclinação—por exemplo, estendendo a rampa ou ajustando seu perfil—para garantir h'(x)<=0,08 em toda a extensão.

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