- (Segurança em Rampas) Um grupo formado por profissionais da arquitetura e engenharia de um shopping center, necessita projetar uma rampa de acesso para pessoas com mobilidade reduzida. Eles(as) utilizam a seguinte função modeladora
onde
é a altura da rampa em metros, e
é a distância horizontal em metros.
a) A inclinação da rampa é um fator crítico para segurança. Analise o comportamento da inclinação ao longo da rampa e indique se há trechos que podem ser perigosos para os usuários.
b) Explique como a derivada ajuda o grupo a identificar os pontos mais perigosos da rampa e como essas informações podem orientar ajustes no projeto.
a) A inclinação da rampa é um fator crítico para segurança. Analise o comportamento da inclinação ao longo da rampa e indique se há trechos que podem ser perigosos para os usuários.
b) Explique como a derivada ajuda o grupo a identificar os pontos mais perigosos da rampa e como essas informações podem orientar ajustes no projeto.
Passo 1
O enunciado dá a altura da rampa em função da distância horizontal
por
e pede para (a) analisar o comportamento da inclinação e indicar trechos perigosos, e (b) explicar como a derivada ajuda a identificar esses pontos e orientar ajustes no projeto. Vamos usar cálculo diferencial: calcular
, estudar seu gráfico e compará-lo a um limite de segurança típico (por exemplo,
de inclinação, ou seja
em termos de taxa).
Passo 2
A inclinação instantânea da rampa é dada pela derivada
Em geometria,
é exatamente a tangente do ângulo de inclinação; quanto maior
, mais íngreme está a rampa.
Passo 3
Estudando
:
- É uma parábola com coeficiente
, logo abre para cima. - O vértice (mínimo) ocorre em
e
- Nos extremos (por exemplo
ou para grandes ) temos e de novo, mostrando inclinações muito altas no início e no fim.
Passo 4
Para ver onde ultrapassamos
(
), resolvemos
Isso vale para
ou
. Entre
m e
m temos
, trecho dentro do limite de segurança; fora desse intervalo, a inclinação é maior que
e, portanto, potencialmente perigosa.
Passo 5
A derivada orienta o projeto pois:
– dá a inclinação exata em cada ponto;
– permite achar mínimos e máximos para saber onde a rampa está mais suave ou mais íngreme;
– comparando ao limite de segurança, indica exatamente que trechos reprojetar;
– com essa informação pode-se, por exemplo, alongar a rampa ou alterar a curvatura para que nunca supere
.
– dá a inclinação exata em cada ponto;
– permite achar mínimos e máximos para saber onde a rampa está mais suave ou mais íngreme;
– comparando
– com essa informação pode-se, por exemplo, alongar a rampa ou alterar a curvatura para que
Resposta
(a) A inclinação
é máxima nos extremos e mínima em
m. Se adotarmos
como limite seguro, os trechos perigosos são
m e
m, pois aí
.
(b) A derivada mede a taxa de variação da altura, ou seja, a inclinação instantânea. Identificando onde
ultrapassa o limite de segurança, o time sabe exatamente em quais intervalos reduzir a inclinação—por exemplo, estendendo a rampa ou ajustando seu perfil—para garantir
em toda a extensão.
(b) A derivada