No depósito de uma fábrica de chocolates temos caixas de bombons de 2 tipos:
Tipo A Essas caixas contém 60 \% de bombons recheados
Tipo B Essas caixas contém 30 \% de bombons recheados
Também sabemos que 100 das 300 caixas são do tipo A enquanto que as restantes são do tipo B e que a única coisa que distingue as caixas é a composição. Se eu pegar uma dessas caixas e tirar um bombom de dentro, determine a probabilidade que essa seja uma caixa do tipo A se
(a) O bombom for recheado
(b) O bombom não for recheado

Passo 1

O enunciado descreve um experimento de probabilidade em que escolhemos ao acaso uma caixa de bombons dentre as 300 disponíveis. Dessas, 100 são do tipo A e 200 do tipo B. Sabemos que
P(A)=\frac{100}{300}=\frac{1}{3},\qquad P(B)=\frac{200}{300}=\frac{2}{3}.
Além disso, em cada caixa do tipo A há 60\% de bombons recheados e 40\% não recheados, e em cada caixa do tipo B há 30\% de bombons recheados e 70\% não recheados. Precisamos calcular
P\bigl(A\mid \text{recheado}\bigr) \quad\text{e}\quad P\bigl(A\mid \text{não recheado}\bigr),ã
usando o Teorema de Bayes e a probabilidade total.

Passo 2

Definimos os eventos
\,R=\{\text{bombom recheado}\} e \,R^c=\{\text{bombom não recheado}\}.ã
Pelas condições temos
P(R\mid A)=0,6,\quad P(R\mid B)=0,3,
P(R^c\mid A)=1-0,6=0,4,\quad P(R^c\mid B)=1-0,3=0,7.

Passo 3

Pela regra da probabilidade total, a chance de tirar um bombom recheado é
P(R)=P(A)\,P(R\mid A)+P(B)\,P(R\mid B) =\frac{1}{3}\cdot 0,6+\frac{2}{3}\cdot 0,3 =0,2+0,2=0,4.
Logo P(R)=0,4 e P(R^c)=1-0,4=0,6.

Passo 4

Pelo Teorema de Bayes,
P\bigl(A\mid R\bigr) =\frac{P(A)\,P(R\mid A)}{P(R)} =\frac{\frac{1}{3}\cdot0,6}{0,4} =\frac{0,2}{0,4} =\frac{1}{2}.

Passo 5

De modo análogo, para o bombom não recheado,
P\bigl(A\mid R^c\bigr) =\frac{P(A)\,P(R^c\mid A)}{P(R^c)} =\frac{\frac{1}{3}\cdot0,4}{0,6} =\frac{0,1333\ldots}{0,6} =\frac{2}{9}.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{1}{2}
(b) \displaystyle \frac{2}{9}

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