Suponha que eu tenha 2 decks de cartas embaralhados, um completo com 52 cartas e outro com 48 cartas em que foram retirados os ases. Eu escolho um desses decks ao acaso e começo a olhar as cartas tentando determinar se eu estou com o deck completo ou não. Se depois de tirar 10 cartas eu não encontrar nenhum ás, qual é a probabilidade que eu esteja olhando o deck incompleto?

Passo 1

O enunciado diz que escolhemos ao acaso um deck completo de 52 cartas (com 4 ases) ou um deck incompleto de 48 cartas (sem ases) e, após retirar 10 cartas sem reposição, não apareceu nenhum ás. O conteúdo que vamos usar é o Teorema de Bayes e probabilidade hipergeométrica para “nenhum ás em 10 retiradas”.

Passo 2

Definimos os eventos:
\;D_{52}= “escolhi o deck de 52 cartas” com \displaystyle P(D_{52})=\tfrac12,
\;D_{48}= “escolhi o deck de 48 cartas” com \displaystyle P(D_{48})=\tfrac12,
\;A= “nenhum ás nas 10 cartas retiradas”.

Passo 3

Calculamos as probabilidades condicionais de A em cada hipótese:
P(A \mid D_{48}) =1 \quad(\text{não há ases no deck de }48),ãá
P(A \mid D_{52}) =\frac{\binom{48}{10}}{\binom{52}{10}} \quad(\text{todas as }10\text{ vêm das }48\text{ não-ases}).êã

Passo 4

Pelo Teorema de Bayes,
P(D_{48}\mid A) =\frac{P(A\mid D_{48})\,P(D_{48})}{P(A)} =\frac{1\cdot\tfrac12}{\tfrac12\Bigl(1+\dfrac{\binom{48}{10}}{\binom{52}{10}}\Bigr)} =\frac{1}{1+\dfrac{\binom{48}{10}}{\binom{52}{10}}}.

Passo 5

Para avaliar numericamente,
\frac{\binom{48}{10}}{\binom{52}{10}} =\prod_{i=0}^{9}\frac{48-i}{52-i} \approx0{,}4134,
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P(D_{48}\mid A) \approx\frac{1}{1+0{,}4134} \approx0{,}7076.

Resposta

A probabilidade de ser o deck incompleto, dado que saíram 10 cartas sem nenhum ás, é
\boxed{P(D_{48}\mid A)=\frac{1}{1+\binom{48}{10}/\binom{52}{10}}\approx0{,}708.}

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