O controle de qualidade de uma fábrica de peças afirma que 10 \% da produção da fábrica apresenta algum tipo de defeito. A fábrica comercializa as peças embaladas em caixas com dez unidades. Se um cliente adquire uma caixa, quer saber:
a) qual a probabilidade da caixa não conter peças defeituosas? 0,3486
b) qual a probabilidade da caixa conter no máximo duas peças defeituosas? \mathbf{0 , 9 2 9 8}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • A probabilidade de uma peça ser defeituosa é \;0,10 (ou seja, 10\%).
    • A caixa contém 10 peças (ou seja, n=10 peças, amostras independentes supostas).
  • Perguntas:
    • (a) Qual a probabilidade da caixa não conter peças defeituosas? (ou seja, P(X=0) onde X = número de peças defeituosas na caixa).
    • (b) Qual a probabilidade da caixa conter no máximo duas peças defeituosas? (ou seja, P(X\le 2)).

Passo 2

Modelo probabilístico que vamos usar (explicação didática):
  • Quando temos n tentativas independentes com probabilidade fixa \;p de “sucesso” em cada tentativa (aqui “sucesso” = peça defeituosa), o número de sucessos X segue a distribuição binomial.
  • Escrevemos \;X\sim\mathrm{Bin}(n,p), onde:
    • \;n é o número de ensaios (aqui \;n=10),
    • \;p é a probabilidade de sucesso em cada ensaio (aqui \;p=0,10).
  • A função de probabilidade da binomial é:
P(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{\,n-k},
onde \;\binom{n}{k} é o coeficiente binomial (número de maneiras de escolher k sucessos entre n tentativas), e significa:
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}.
  • Intuição: \;p^{k} dá a probabilidade de ocorrer uma sequência específica com k sucessos, (1-p)^{n-k} dá a probabilidade das n-k falhas, e \binom{n}{k} conta as diferentes ordens possíveis dessas ocorrências.

Passo 3

Resolvendo a parte (a) — probabilidade de não conter peças defeituosas:
  • Aqui queremos P(X=0).
  • Aplicando a fórmula da binomial com k=0:
P(X=0)=\binom{10}{0}\,0{,}1^{0}\,0{,}9^{10}.
  • Como \;\binom{10}{0}=1 e 0{,}1^0=1, resulta:
P(X=0)=0{,}9^{10}.
  • Calculemos 0{,}9^{10} de forma passo a passo (sem pular etapas):
    • 0{,}9^{2}=0{,}81.
    • 0{,}9^{4}=(0{,}9^{2})^{2}=0{,}81^{2}=0{,}6561.
    • 0{,}9^{8}=(0{,}9^{4})^{2}=0{,}6561^{2}=0{,}43046721.
    • 0{,}9^{10}=0{,}9^{8}\cdot0{,}9^{2}=0{,}43046721\cdot0{,}81=0{,}3486784401.
  • Portanto o valor exato computado é \;0{,}3486784401. Arredondando para quatro casas decimais fica \;0{,}3487.

Passo 4

Resolvendo a parte (b) — probabilidade de no máximo duas peças defeituosas:
  • Queremos P(X\le 2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2).
  • Já calculamos P(X=0)=0{,}9^{10}=0{,}3486784401.
  • Agora P(X=1):
P(X=1)=\binom{10}{1}\,0{,}1^{1}\,0{,}9^{9}.
  • \binom{10}{1}=10.
  • Note que 10\cdot0{,}1=1, então P(X=1)=1\cdot0{,}9^{9}=0{,}9^{9}.
  • Usando 0{,}9^{9}=0{,}9^{10}/0{,}9=0{,}3486784401/0{,}9=0{,}387420489.
  • Agora P(X=2):
P(X=2)=\binom{10}{2}\,0{,}1^{2}\,0{,}9^{8}.
  • \binom{10}{2}=45.
  • 0{,}1^{2}=0{,}01.
  • Então P(X=2)=45\cdot0{,}01\cdot0{,}9^{8}=0{,}45\cdot0{,}43046721.
  • Calcule: 0{,}45\cdot0{,}43046721=0{,}1937102445.
  • Somando os três termos:
P(X\le 2)=0{,}3486784401+0{,}387420489+0{,}1937102445.
  • Somando em ordem:
    • 0{,}3486784401+0{,}387420489=0{,}7360989291.
    • 0{,}7360989291+0{,}1937102445=0{,}9298091736.
  • Portanto P(X\le 2)=0{,}9298091736. Arredondando para quatro casas decimais fica \;0{,}9298.

Passo 5

Interpretação rápida e dica de prova:
  • O resultado indica que é relativamente provável que a caixa tenha no máximo duas peças defeituosas ( \approx92{,}98\%), e a chance de não haver defeitos é menor ( \approx34{,}87\%).
  • Dica prática: em provas, para P(X\le k) de binomial pequena, calcule termos individualmente se k pequeno; alternativamente use a complementar quando for mais simples (por exemplo P(X\le 2)=1-P(X\ge 3) se P(X\ge3) for mais fácil com tabelas ou cumulativas).

Resposta

(a) 0,3486784401
(b) 0,9298091736

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