O controle de qualidade de uma fábrica de peças afirma que
da produção da fábrica apresenta algum tipo de defeito. A fábrica comercializa as peças embaladas em caixas com dez unidades. Se um cliente adquire uma caixa, quer saber:
a) qual a probabilidade da caixa não conter peças defeituosas? 0,3486
b) qual a probabilidade da caixa conter no máximo duas peças defeituosas?
a) qual a probabilidade da caixa não conter peças defeituosas? 0,3486
b) qual a probabilidade da caixa conter no máximo duas peças defeituosas?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dados fornecidos:
- A probabilidade de uma peça ser defeituosa é
(ou seja, ). - A caixa contém
peças (ou seja, peças, amostras independentes supostas).
- A probabilidade de uma peça ser defeituosa é
- Perguntas:
- (a) Qual a probabilidade da caixa não conter peças defeituosas? (ou seja,
onde = número de peças defeituosas na caixa). - (b) Qual a probabilidade da caixa conter no máximo duas peças defeituosas? (ou seja,
).
- (a) Qual a probabilidade da caixa não conter peças defeituosas? (ou seja,
Passo 2
Modelo probabilístico que vamos usar (explicação didática):
- Quando temos
tentativas independentes com probabilidade fixa de “sucesso” em cada tentativa (aqui “sucesso” = peça defeituosa), o número de sucessos segue a distribuição binomial. - Escrevemos
, onde: -
é o número de ensaios (aqui ), -
é a probabilidade de sucesso em cada ensaio (aqui ).
-
- A função de probabilidade da binomial é:
onde
é o coeficiente binomial (número de maneiras de escolher
sucessos entre
tentativas), e significa:
- Intuição:
dá a probabilidade de ocorrer uma sequência específica com sucessos, dá a probabilidade das falhas, e conta as diferentes ordens possíveis dessas ocorrências.
Passo 3
Resolvendo a parte (a) — probabilidade de não conter peças defeituosas:
- Aqui queremos
. - Aplicando a fórmula da binomial com
:
- Como
e , resulta:
- Calculemos
de forma passo a passo (sem pular etapas): -
. -
. -
. -
.
-
- Portanto o valor exato computado é
. Arredondando para quatro casas decimais fica .
Passo 4
Resolvendo a parte (b) — probabilidade de no máximo duas peças defeituosas:
- Queremos
. - Já calculamos
. - Agora
:
-
. - Note que
, então . - Usando
. - Agora
:
-
. -
. - Então
. - Calcule:
. - Somando os três termos:
- Somando em ordem:
-
. -
.
-
- Portanto
. Arredondando para quatro casas decimais fica .
Passo 5
Interpretação rápida e dica de prova:
- O resultado indica que é relativamente provável que a caixa tenha no máximo duas peças defeituosas (
), e a chance de não haver defeitos é menor ( ). - Dica prática: em provas, para
de binomial pequena, calcule termos individualmente se pequeno; alternativamente use a complementar quando for mais simples (por exemplo se for mais fácil com tabelas ou cumulativas).
Resposta
(a)
(b)