Conhecendo-se a distribuição de probabilidade da variável X, dada a seguir:
X 0 1 2 3 4 5
\mathrm{P}\left(\mathrm{X}=\mathrm{x}_{\mathrm{i}}\right) 0,1 0,2 0,3 0,2 0,1 0,1
Pede-se:
a) o valor esperado de X
b) a variância de X
c) o desvio padrão
d) a função repartição

Passo 1

O enunciado dá a distribuição de probabilidade discreta de X com os seguintes valores (peguei estes números da tabela fornecida):
\begin{array}{c|cccccc} x & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\hline P(X=x) & 0,1 & 0,2 & 0,3 & 0,2 & 0,1 & 0,1 \end{array}
As perguntas são:
a) calcular o valor esperado de X;
b) calcular a variância de X;
c) calcular o desvio padrão de X;
d) escrever a função repartição F_X(x)=P(X\le x) para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 2

Definição e cálculo do valor esperado. Explico devagar: o valor esperado (ou esperança) de uma variável aleatória discreta é a média ponderada dos valores que a variável pode assumir, onde os pesos são as probabilidades desses valores. A fórmula é
E[X]=\sum_{i} x_i\,P(X=x_i),
em que cada x_i é um valor possível e P(X=x_i) é a probabilidade correspondente. Agora aplico isso com os valores da tabela:
E[X]=0\cdot0,1+1\cdot0,2+2\cdot0,3+3\cdot0,2+4\cdot0,1+5\cdot0,1.
Faço as multiplicações uma a uma:
0\cdot0,1=0,\quad 1\cdot0,2=0,2,\quad 2\cdot0,3=0,6,
3\cdot0,2=0,6,\quad 4\cdot0,1=0,4,\quad 5\cdot0,1=0,5.
Somando:
E[X]=0+0,2+0,6+0,6+0,4+0,5=2,3.

Passo 3

Cálculo de E[X^2] (passo intermediário para a variância). Para a variância é útil primeiro calcular E[X^2], que é a média dos quadrados dos valores, ponderada pelas mesmas probabilidades:
E[X^2]=\sum_{i} x_i^2\,P(X=x_i).
Computo termo a termo usando os mesmos dados:
0^2\cdot0,1=0,\quad 1^2\cdot0,2=0,2,\quad 2^2\cdot0,3=4\cdot0,3=1,2,
3^2\cdot0,2=9\cdot0,2=1,8,\quad 4^2\cdot0,1=16\cdot0,1=1,6,\quad 5^2\cdot0,1=25\cdot0,1=2,5.
Somando:
E[X^2]=0+0,2+1,2+1,8+1,6+2,5=7,3.

Passo 4

Definição e cálculo da variância. A variância mede a dispersão em torno da média e pode ser calculada por
\operatorname{Var}(X)=E[X^2]-(E[X])^2.
Substituindo os valores que encontramos:
\operatorname{Var}(X)=7,3-(2,3)^2.
Calculo o quadrado e a diferença:
(2,3)^2=5,29,
\operatorname{Var}(X)=7,3-5,29=2,01.

Passo 5

Cálculo do desvio padrão. O desvio padrão é a raiz quadrada da variância e dá a dispersão na mesma unidade de X. Assim,
\sigma_X=\sqrt{\operatorname{Var}(X)}=\sqrt{2,01}.
Aproximando a raiz quadrada (pode-se usar uma calculadora na prova para isto; aqui dou o valor aproximado):
\sqrt{2,01}\approx1,418.

Passo 6

Construção da função repartição F_X(x)=P(X\le x). Para variável discreta, F_X(x) é uma função escalonada que aumenta nos pontos onde X tem massa de probabilidade. Vou calcular os valores acumulados com base na tabela (peguei as probabilidades da tabela dada):
  • Para x<0: não há valores de X menores ou iguais a x, então F_X(x)=0.
  • Para 0\le x<1: apenas X=0 contribui, então F_X(x)=P(X=0)=0,1.
  • Para 1\le x<2: contribuem X=0 e X=1, soma 0,1+0,2=0,3.
  • Para 2\le x<3: soma até X=2: 0,3+0,3=0,6.
  • Para 3\le x<4: soma até X=3: 0,6+0,2=0,8.
  • Para 4\le x<5: soma até X=4: 0,8+0,1=0,9.
  • Para x\ge5: todas as probabilidades somadas dão 1.
Posso escrever isso em forma de função por partes:
F_X(x)= \begin{cases} 0, & x<0,\\[4pt] 0,1, & 0\le x<1,\\[4pt] 0,3, & 1\le x<2,\\[4pt] 0,6, & 2\le x<3,\\[4pt] 0,8, & 3\le x<4,\\[4pt] 0,9, & 4\le x<5,\\[4pt] 1, & x\ge5. \end{cases}]

Resposta

a) E[X]=2,3
b) \operatorname{Var}(X)=2,01
c) \sigma_X=\sqrt{2,01}\approx1,418
d) F_X(x)= \begin{cases} 0, & x<0,\\[4pt] 0,1, & 0\le x<1,\\[4pt] 0,3, & 1\le x<2,\\[4pt] 0,6, & 2\le x<3,\\[4pt] 0,8, & 3\le x<4,\\[4pt] 0,9, & 4\le x<5,\\[4pt] 1, & x\ge5. \end{cases}]

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