As perguntas são:
a) calcular o valor esperado de X;
b) calcular a variância de X;
c) calcular o desvio padrão de X;
d) escrever a função repartição F_X(x)=P(X\le x) para todo x\in\mathbb{R}.
Passo 2
Definição e cálculo do valor esperado. Explico devagar: o valor esperado (ou esperança) de uma variável aleatória discreta é a média ponderada dos valores que a variável pode assumir, onde os pesos são as probabilidades desses valores. A fórmula é
E[X]=\sum_{i} x_i\,P(X=x_i),
em que cada x_i é um valor possível e P(X=x_i) é a probabilidade correspondente. Agora aplico isso com os valores da tabela:
Cálculo de E[X^2] (passo intermediário para a variância). Para a variância é útil primeiro calcular E[X^2], que é a média dos quadrados dos valores, ponderada pelas mesmas probabilidades:
Aproximando a raiz quadrada (pode-se usar uma calculadora na prova para isto; aqui dou o valor aproximado):
\sqrt{2,01}\approx1,418.
Passo 6
Construção da função repartição F_X(x)=P(X\le x). Para variável discreta, F_X(x) é uma função escalonada que aumenta nos pontos onde X tem massa de probabilidade. Vou calcular os valores acumulados com base na tabela (peguei as probabilidades da tabela dada):
Para x<0: não há valores de X menores ou iguais a x, então F_X(x)=0.
Para 0\le x<1: apenas X=0 contribui, então F_X(x)=P(X=0)=0,1.
Para 1\le x<2: contribuem X=0 e X=1, soma 0,1+0,2=0,3.
Para 2\le x<3: soma até X=2: 0,3+0,3=0,6.
Para 3\le x<4: soma até X=3: 0,6+0,2=0,8.
Para 4\le x<5: soma até X=4: 0,8+0,1=0,9.
Para x\ge5: todas as probabilidades somadas dão 1.
Posso escrever isso em forma de função por partes: