Uma moeda é lançada 10 vezes. Calcule as seguintes probabilidades:
de não ocorrer 5 caras e 5 coroas
de não ocorrer 5 caras e 5 coroas
Passo 1
O enunciado: uma moeda é lançada
vezes. A pergunta é calcular a probabilidade de que NÃO ocorra exatamente
caras e
coroas (ou seja, a sequência de 10 lançamentos não tenha exatamente
caras).
Informações dadas/assumidas:
Informações dadas/assumidas:
- A moeda é justa (não foi dito o contrário), então a probabilidade de cara em um lançamento é
e a de coroa também . - Os lançamentos são independentes.
O que se pede: a probabilidade do evento complemento de “ocorrer exatamentecaras em 10 lançamentos”.
Passo 2
Modelagem e fórmula que vamos usar (explicação didática): seja
a variável aleatória que conta o número de caras em
lançamentos. Para uma moeda justa e lançamentos independentes,
segue a distribuição binomial com parâmetros
(número de ensaios) e
(probabilidade de sucesso — aqui, “cara — em cada ensaio). A fórmula da distribuição binomial é:
onde:
-
é o número total de ensaios ( ), -
é o número de sucessos desejados (aqui ), -
é a probabilidade de sucesso em um ensaio ( ), -
é o número de combinações de coisas tomadas a , também chamado de coeficiente binomial.
Explicando
:
onde
. Isso conta quantas sequências diferentes de
caras (em posições distintas) existem entre
lançamentos.
Passo 3
Calcular a probabilidade de ocorrer exatamente
caras em
lançamentos usando a fórmula binomial. Primeiro o coeficiente:
Vamos simplificar esse valor sem calcular todo o
:
Agora reduzindo passo a passo:
-
, -
, -
, -
, - sobra multiplicar
.
Calculando:
Portanto
.
Passo 4
Calcular
usando
:
Como
, temos
Simplificando a fração dividindo numerador e denominador por
:
Passo 5
Usar o princípio do complemento: a probabilidade de NÃO ocorrer exatamente
caras é
Substituindo o valor encontrado:
Se quiser uma aproximação decimal para intuição:
ou seja, cerca de
. Força aí — a resposta faz sentido: é mais provável que o número de caras em 10 lançamentos não seja exatamente 5 do que seja 5.