Uma moeda é lançada 10 vezes. Calcule as seguintes probabilidades:
de não ocorrer 5 caras e 5 coroas

Passo 1

O enunciado: uma moeda é lançada 10 vezes. A pergunta é calcular a probabilidade de que NÃO ocorra exatamente 5 caras e 5 coroas (ou seja, a sequência de 10 lançamentos não tenha exatamente 5 caras).
Informações dadas/assumidas:
  • A moeda é justa (não foi dito o contrário), então a probabilidade de cara em um lançamento é \tfrac{1}{2} e a de coroa também \tfrac{1}{2}.
  • Os lançamentos são independentes.
    O que se pede: a probabilidade do evento complemento de “ocorrer exatamente 5 caras em 10 lançamentos”.

Passo 2

Modelagem e fórmula que vamos usar (explicação didática): seja X a variável aleatória que conta o número de caras em 10 lançamentos. Para uma moeda justa e lançamentos independentes, X segue a distribuição binomial com parâmetros n=10 (número de ensaios) e p=\tfrac{1}{2} (probabilidade de sucesso — aqui, “cara — em cada ensaio). A fórmula da distribuição binomial é:
\mathbb{P}(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{n-k},
onde:
  • n é o número total de ensaios ( n=10),
  • k é o número de sucessos desejados (aqui k=5),
  • p é a probabilidade de sucesso em um ensaio ( p=\tfrac{1}{2}),
  • \binom{n}{k} é o número de combinações de n coisas tomadas k a k, também chamado de coeficiente binomial.
Explicando \binom{n}{k}:
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n!=n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot1. Isso conta quantas sequências diferentes de k caras (em posições distintas) existem entre n lançamentos.

Passo 3

Calcular a probabilidade de ocorrer exatamente 5 caras em 10 lançamentos usando a fórmula binomial. Primeiro o coeficiente:
\binom{10}{5}=\frac{10!}{5!\,5!}.
Vamos simplificar esse valor sem calcular todo o 10!:
\binom{10}{5}=\frac{10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6}{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}.
Agora reduzindo passo a passo:
  • \dfrac{10}{5}=2,
  • \dfrac{8}{4}=2,
  • \dfrac{9}{3}=3,
  • \dfrac{6}{2}=3,
  • sobra multiplicar 2\cdot3\cdot2\cdot7\cdot3.
    Calculando:
2\cdot3\cdot2\cdot7\cdot3 = (2\cdot2)\cdot(3\cdot3)\cdot7 = 4\cdot9\cdot7 = 36\cdot7 = 252.
Portanto \binom{10}{5}=252.

Passo 4

Calcular \mathbb{P}(X=5) usando p=\tfrac{1}{2}:
\mathbb{P}(X=5)=\binom{10}{5}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{5}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{5} =252\left(\tfrac{1}{2}\right)^{10}.
Como \left(\tfrac{1}{2}\right)^{10}=\tfrac{1}{1024}, temos
\mathbb{P}(X=5)=\frac{252}{1024}.
Simplificando a fração dividindo numerador e denominador por 4:
\mathbb{P}(X=5)=\frac{63}{256}.

Passo 5

Usar o princípio do complemento: a probabilidade de NÃO ocorrer exatamente 5 caras é
\mathbb{P}(\text{não }X=5)=1-\mathbb{P}(X=5).ã
Substituindo o valor encontrado:
\mathbb{P}(\text{não }X=5)=1-\frac{63}{256}=\frac{256-63}{256}=\frac{193}{256}.ã
Se quiser uma aproximação decimal para intuição:
\frac{193}{256}\approx 0{,}7539,
ou seja, cerca de 75{,}39\%. Força aí — a resposta faz sentido: é mais provável que o número de caras em 10 lançamentos não seja exatamente 5 do que seja 5.

Resposta

\dfrac{193}{256}

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